Számsorozatok - Egyéb számsorozat témakörbe eső problémák:

• 3.2. probléma** (ld. még 3.1; a könyv 94. oldalán): Igaz-e, hogy ha van egy olyan halmazunk, amelyik végtelen sok $1$-nél kisebb pozitív számból áll, akkor, ha ebből a halmazból \idez{sok} számot kiválasztunk és ezeket összeszorozzuk, akkor a szorzat \idez{közel} lesz-e a nullához? Ez a kérdés így pontatlan. Mit jelent az, hogy \idez{sok} számot összeszorzunk? Melyik sokat szorozzuk, stb? Fogalmazzunk pontosabban: Létezik-e olyan $\{a_n\}$ $1$-nél kisebb pozitív számokból álló sorozat, amelyikhez van olyan $c>0$ szám, hogy a $b_n= a_1a_2\cdots a_n$ szorzat minden $n\in \nn^+$ esetén $c$-nél nagyobb legyen?
• 3.12. probléma* (ld. még 3.9, 3.19; a könyv 106. oldalán): Mutassuk meg, hogy $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n< \left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$
• 3.19. probléma* (ld. még 3.12, 3.11; a könyv 113. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n <\left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$ \mitem{b)} Van-e olyan $k$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n<k?$$
• 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
• 4.74. probléma* (ld. még 4.73, 4.75; a könyv 191. oldalán): Hány részre osztja a teret $n$ darab olyan sík, amelyek közül bármely háromnak van közös pontja, de semelyik négy $($vagy több$)$ síknak nincs közös pontja?
• 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
• 6.10. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 259. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egész számok, hogy $a^2+b^2=c^2,$ akkor az ${a/ b}$ számot pitagoraszi racionális számnak nevezzük. ${a/ b}$-vel együtt ${b/ a}$ is pitagoraszi racionális szám. Mutassuk meg, hogy a pitagoraszi racionális számok a nemnegatív valós számok körében sűrűn vannak. $($Ezen a sűrűségen azt értjük, hogy bárhogyan is tekintünk a pozitív félegyenesen egy intervallumot, ebben van pitagoraszi racionális szám.$)$
• 6.26. probléma (ld. még 6.25, 1.2, 1.3; a könyv 277. oldalán): Legyen $x=\sqrt3$, $y={1/{\sqrt3}}$. Számítsuk ki az $\{n(1+ x)\}$ és az $\{n(1+y)\}$ sorozatok első tizenkét tagját, az első két tizedes jegyet írjuk ki. Az első sorozat első tagjai: $2,73;$ $5,46;$ $8,19;$ $10,92;$ $13,66;$ $16,39;$ $19,12;$ $21,85;$ $24,58;$ $27,32;$ $30,05;$ $32,78$. A második sorozat első tagjai: $1,57;$ $3,15;$ $4,73;$ $6,30;$ $7,88;$ $9,46;$ $11,04;$ $12,61;$ $14,19;$ $15,77;$ $17,35;$ $18,92$. Azt látjuk, hogy az első számok azt mutatják, hogy két szomszédos pozitív egész szám közé a két sorozat egyikének és csak egyikének egy tagja esik. Ez itt $1$ és $19$ között látható. Vajon ez később is teljesül? Igaz-e az, hogy bármely két szomszédos pozitív egész számot tekintünk, e két egész szám között a két sorozat pontosan egyikéből pontosan egy tag szerepel?