Számsorok - Számsorok témakörbe eső problémák:

• 3.6. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 96. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+,$ akkor $$1+{1\over{2^2}}+{1\over{3^2}}+\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$
• 3.7. probléma* (ld. még 3.4, 3.5, 3.6; a könyv 97. oldalán): Legyen $n$ rögzített pozitív egész szám $($az érdekes az, ha \idez{nagy} számra gondolunk$)$. Az $$1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots+{1\over n}$$ összegből hagyjunk el minden olyan ${1/ k}$ tagot, amelyikben a $k$ tizes számrendszerben való felírásában a $9$-es számjegy szerepel. Mutassuk meg, hogy a megmaradó tagok összege, bármilyen nagy szám volt is az $n$, $80$-nál kisebb.
• 5.36. probléma* (ld. még 5.35, 5.37, 5.38; a könyv 235. oldalán): Ha az előbbi játékot három barátommal együtt négyen játsszuk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy én nyerek? A válasz az, hogy a szimmetria-elv alapján az én nyerési esélyem ugyanannyi, mint társaimé, tehát mindegyikünké ${1/4}.$ Elfogadható-e ez a válasz?
• 5.37. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.38; a könyv 235. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék $($szabályos érmével$)$, melyben az egyik játékos nyerési esélye ${1/3}?$
• 5.38. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.37; a könyv 237. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék szabályos érmével, amelyben az egyik játékos ${1/ \pi}$ valószínűséggel nyer?
• 6.12. probléma* (ld. még 6.1; a könyv 263. oldalán): $A$ és $B$ teniszeznek. Egy szetet játszanak. A szetnek akkor van vége, amikor valamelyikük legalább hat játékot nyer úgy, hogy a másik legalább kettővel kevesebbet nyer. A győztes a labdáknak legalább hány százalékát nyerte meg?
• 6.13. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 263. oldalán): Legyen $n$ természetes szám. Vizsgáljuk meg, hogy az $$x^2+y^2=n$$ egyenletnek hány egész számokból álló megoldása van? Jelöljük ezt a számot $r(n)$-nel. $n=0$ esetén egy megoldás van: $(0,0).$ $r(1)=4,$ mert $n=1$ esetén négy megoldás van: $(1,0); (0,1); (-1,0); (0,-1)$. Ellenőrizhetjük, hogy $r(2)=4.$ $r(3)= 0,$ amiről próbálkozással is meggyőződhetünk, de gondolkodhatunk a következő módon is: Ha $x^2+y^2$ páratlan egész szám, akkor $x$ és $y$ közül az egyik páros, a másik páratlan. Páros szám négyzete osztható $4$-gyel, páratlan szám négyzete $4$-gyel osztva maradékul $1$-et ad. Ezért nem csupán azt kaptuk, hogy $x^2+y^2$ nem lehet $3$, hanem azt is, hogy $4k+3$ alakú sem lehet, ahol $k\in \nn.$ Nemcsak ilyen $n$ számokra lesz az $r\colon\nn\rightarrow \nn$ függvény $0$. Meggyőződhetünk róla, hogy például $r(12)=0.$ Az $r$ végtelen sok $n$ esetén lesz $0$, de nagyon nagy értékeket is felvehet. A feladat az, hogy tudunk-e valamit mondani az $${{r(0)+r(1)+\cdots+r(n-1)}\over n}$$ átlagról?
• 6.29. probléma** (ld. még 3.4, 3.5, 3.6, 3.7; a könyv 287. oldalán): Ez egy rejtvényszerű, nevezetes probéma. Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén tetszőleges mennyiségű üzemanyagot találunk, a sivatagban jelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lehetőségünk van lerakatokat készíteni a sivatagban. Lehetséges-e a sivatagon az autóval átkelni?