Számhármasok - Pitagoraszi számhármasok témakörbe eső problémák:

• 2.60. probléma (ld. még 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 54. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ egy derékszögű háromszög oldalai $a$, $b$ a két befogó, $c$ az átfogó, akkor $a^2+b^2=c^2.$ Az $$x^2+y^2= z^2$$ egyenlet $a, b, c\in \nn^+$ megoldását pitagoraszi számhármasnak nevezzük. Ha itt $(a,b)=1,$ akkor $(a,c)=1$ és $(b,c)=1$ is teljesül. Az olyan $a$, $b$, $c$ pitagoraszi számhármast, amelyben szereplő bármely két szám legnagyobb közös osztója $1,$ alapmegoldásnak, vagy primitív megoldásnak nevezzük. $($Az előbbi megjegyzés szerint elegendő persze kikötni például azt, hogy $(a,b)=1.)$ Könnyű belátni, hogy az alapmegoldások ismeretében az összes megoldást ismerjük. Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet alapmegoldása, akkor $a$ és $b$ közül pontosan egyik páros szám!
• 2.61. probléma* (ld. még 2.60, 2.62, 2.63; a könyv 55. oldalán): Legyen $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet egy alapmegoldása, és tegyük fel, hogy $a$ páros. Akkor \mitem{a)} léteznek olyan $m, n\in \nn^+$ számok, hogy $m>n$ és $a=2mn$, $b=m^2-n^2$, $c=m^2+n^2$; \mitem{b)} $(m,n)=1;$ \mitem{c)} $m$ és $n$ különböző paritásúak.\par
• 2.62. probléma* (ld. még 2.60, 2.61, 2.63; a könyv 55. oldalán): Ha $m, n\in \nn^+$ és $$a=2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2,$$ akkor $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet megoldása. Ha még az is igaz, hogy $(m,n)= 1$, $m$, $n$ különböző paritású, és $m>n,$ akkor $a$, $b$, $c$ az egyenlet alapmegoldása.
• 2.63. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62; a könyv 55. oldalán): Az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet összes $x=a$, $y=b$, $z=c$ megoldása, ahol $a, b, c\in \nn^+,$ $a$ páros szám és $a$, $b$, $c$-nek nincs $1$-nél nagyobb közös osztója, megadható az $$a=2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2$$ alakban, ahol $m, n\in \nn^+$, $(m,n)=1$, $m>n$ és nem mindkettő páratlan.
• 2.64. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 56. oldalán): A következő táblázat néhány alapmegoldást szolgáltat: $$\matrix{ m & n & a & b & c \cr 2 & 1 & 4 & 3 & 5 \cr 3 & 2 & 12 & 5 & 13 \cr 4 & 1 & 8 & 15 & 17 \cr 4 & 3 & 24 & 7 & 25 \cr 5 & 2 & 20 & 21 & 29 \cr 5 & 4 & 40 & 9 & 41 \cr 6 & 1 & 12 & 35 & 37 \cr 6 & 5 & 11 & 60 & 61. \cr }$$ Ezekből a példákból azt vesszük észre, hogy \mitem{a)} $12\oszt ab$ és \mitem{b)} $a$, $b$, $c$ közül az egyik osztható $5$-tel.\par\noindent Vajon ezek az észrevételek érvényesek-e minden alapmegoldásra?
• 2.65. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64; a könyv 57. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket: $4^2+3^2=5^2$, $12^2+ 5^2=13^2$, $24^2+7^2=25^2$, $40^2+9^2=41^2$, $60^2+11^2=61^2$. Próbáljunk e példák, az ezekből leolvasható tulajdonságok alapján egy állítást megfogalmazni!
• 2.66. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64, 2.65; a könyv 57. oldalán): Az előző példában végtelen sok olyan pitagoraszi számhármast adtunk meg, amelyekben az egyik befogó és az átfogó szomszédos egész számok. Felsoroltuk-e az előbbi módon az összes ilyen tulajdonságú pitagoraszi számhármast?
• 2.67. probléma (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): Igaz-e, hogy $3$, $4$, $5$ az egyetlen olyan pitagoraszi számhármas, amely egymás után következő természetes számokból áll?
• 2.68. probléma (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): $3^2+4^2=5^2$, $20^2+21^2=29^2$, $119^2+120^2=169^2$, azaz ilyen alakúak: $a^2+(a+1)^2=c^2.$ Vajon végtelen sok természetes számokból álló olyan $a$, $c$ számpár létezik-e, amelyekre $$a^2+(a+1)^2= c^2.$$
• 2.69. probléma** (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy az $X^4-Y^4=Z^2$ egyenletnek nincs $0$-tól különböző egész számokból álló megoldása. \mitem{b)} Lehet-e pitagoraszi háromszög területe egész szám négyzete? \mitem{c)} Van-e az $X^4+Y^4=Z^4$ egyenletnek $0$-tól különböző egész számokból álló megoldása? \mitem{d)} Legendre-tól származik a következő példa: Ha az $x$, $y$, $z$ egészek, $0$-tól különbözőek és $x^4+y^4= 2z^2,$ akkor $x^2=y^2$ és $z^2=x^4.$ \mitem{e)} Mutassuk meg, hogy ha $x$, $y$, $z$ a $0$-tól különböző egész számok és $2x^4+2y^4=z^2,$ akkor $x^2=y^2$ és $z^2=4x^4.$ \mitem{f)} Mutassuk meg, hogy a $4x^4-1=3y^4$ egyenletnek egész számokból álló megoldása csak $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$.\par
• 2.74. probléma* (ld. még 2.63; a könyv 64. oldalán): Mutassuk meg, hogy az $$x^2-Dy^2=z^2$$ egyenletnek, bármely $D$ egész szám esetén, végtelen sok $x$, $y$, $z$ megoldása van a természetes számok körében!
• 2.75. probléma* (ld. még 2.74; a könyv 65. oldalán): Mutassuk meg, hogy az $$x^2-Dy^2=1,\quad D=m^2+1,\quad m\in \nn^+,$$ egyenletnek végtelen sok $x$, $y$ megoldása van a természetes számok körében!
• 4.36. probléma* (ld. még 4.35, 4.37; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=3$, $PB=4$, $PC=5$. Mekkora a háromszög oldala?
• 6.10. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 259. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egész számok, hogy $a^2+b^2=c^2,$ akkor az ${a/ b}$ számot pitagoraszi racionális számnak nevezzük. ${a/ b}$-vel együtt ${b/ a}$ is pitagoraszi racionális szám. Mutassuk meg, hogy a pitagoraszi racionális számok a nemnegatív valós számok körében sűrűn vannak. $($Ezen a sűrűségen azt értjük, hogy bárhogyan is tekintünk a pozitív félegyenesen egy intervallumot, ebben van pitagoraszi racionális szám.$)$
• 6.23. probléma* (a könyv 273. oldalán): Van egy furcsa lyukasztónk: Ha a sík egy pontját ezzel kilyukasztjuk, az összes olyan pontot is eltünteti, amelyik irracionális távolságra van ettől a ponttól. Hány lyukasztással tudjuk a sík összes pontját eltüntetni?