Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Skatulyaelv - Skatulyaelv témakörbe eső problémák:
- 3.29. probléma* (a könyv 124. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_7$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq {{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq{1\over{\sqrt3}}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{13}$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq 2-\sqrt3.$$ \mitem{c)} Legyenek adva az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ valós számok, $n\geq4.$ Van-e olyan $K_n$ szám, hogy az adott számok között létezzék két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+ a_ia_j}}\leq K_n.$$
- 4.70. probléma* (ld. még 4.71; a könyv 188. oldalán): Igaz-e, hogy az egységnyi sugarú zárt körlemezen nem lehet ötnél több pontot úgy elhelyezni, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen?
- 4.71. probléma* (ld. még 4.70; a könyv 188. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a $10$ egység sugarú zárt körlemezen nem lehet $450$ pontot elhelyezni úgy, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen!
- 5.18. probléma* (a könyv 223. oldalán): \mitem{(a)} Gabi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ különböző pár kesztyű van. Síelni indul, és véletlenszerűen kivesz $8$ darab kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki? \mitem{(b)} Zsuzsi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ egyforma pár kesztyű van. Induláskor véletlenszerűen kivesz $8$ kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki?\par