Aritmetika - Irracionális számok és tulajdonságaik témakörbe eső problémák:

• 2.19. probléma* (a könyv 29. oldalán): Előállítható-e a $\root 3\of 2$ szám $a+b\sqrt r$ alakban, ahol $a$, $b$, $r$ racionális számok?
• 2.20. probléma* (ld. még 2.19; a könyv 29. oldalán): Döntsük el, hogy a $$\root 3\of{\sqrt 5+2}-\root 3\of{ \sqrt 5-2}$$ szám racionális, vagy irracionális?
• 2.21. probléma* (ld. még 2.20; a könyv 30. oldalán): Vannak-e olyan $m$, $n$ nem-negatív egész számok, hogy \mitem{a)} $(5+3\sqrt2)^m=(3+5\sqrt2)^n;$ \mitem{b)} $(a+b\sqrt d)^m=(b+a\sqrt d)^n,$ ahol $a$, $b$ természetes számok, legnagyobb közös osztójuk $1$, $a\not =b,$ és $d>1$ olyan természetes szám, amelynek nincs négyzetszám osztója $($természetesen az $1$-en kívül$)$.\par
• 2.24. probléma* (ld. még 2.20, 2.21; a könyv 32. oldalán): Legyen $n$ és $m$ két különböző pozitív egész szám, egyik sem négyzetszám. Mi a feltétele annak, hogy létezzék olyan $k\in \nn^+,$ hogy $$\sqrt n+\sqrt m= \sqrt k$$ legyen?
• 2.25. probléma (ld. még 2.20; a könyv 32. oldalán): Igaz-e, hogy ha két racionális szám összege és szorzata is egész szám, akkor e számok egész számok?
• 2.26. probléma (a könyv 33. oldalán): Léteznek-e olyan $x$, $y$ irracionális számok, hogy $x^y$ racionális legyen?
• 6.10. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 259. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egész számok, hogy $a^2+b^2=c^2,$ akkor az ${a/ b}$ számot pitagoraszi racionális számnak nevezzük. ${a/ b}$-vel együtt ${b/ a}$ is pitagoraszi racionális szám. Mutassuk meg, hogy a pitagoraszi racionális számok a nemnegatív valós számok körében sűrűn vannak. $($Ezen a sűrűségen azt értjük, hogy bárhogyan is tekintünk a pozitív félegyenesen egy intervallumot, ebben van pitagoraszi racionális szám.$)$
• 6.23. probléma* (a könyv 273. oldalán): Van egy furcsa lyukasztónk: Ha a sík egy pontját ezzel kilyukasztjuk, az összes olyan pontot is eltünteti, amelyik irracionális távolságra van ettől a ponttól. Hány lyukasztással tudjuk a sík összes pontját eltüntetni?