Négyszögek geometriája - Húrnégyszögek témakörbe eső problémák:

• 4.7. probléma* (a könyv 130. oldalán): Adott a síkban két pont, egy $\alpha$ szög, továbbá egy, a két adott pontot összekötő egyenessel párhuzamos egyenes. Szerkesszünk az adott egyenesen olyan szakaszt, amely mindkét adott pontból $\alpha$ szög alatt látszik!
• 4.20. probléma (a könyv 142. oldalán): Az $ABC$ háromszög magasságvonalai az $M$ pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy $MC=AB$. Határozzuk meg a háromszög $C$ csúcsánál levő belső szöget!
• 4.32. probléma* (a könyv 151. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy minden hegyesszögű $ABC$ háromszögben $${AM+BM+CM}={2(R+r)},$$ ahol $M$ a háromszög magasságpontja, $r$ a beírt, $R$ pedig a körülírt kör sugara!
• 4.33. probléma* (ld. még 4.32; a könyv 152. oldalán): Jelölje $R$, illetve $r$ a háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, $d_a$, $d_b$, $d_c$ pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól vett távolságait. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor $${{d_a}+{d_b}+{d_c}}={R+r}$$ Hogyan módosul az állítás, ha a háromszög tompaszögű?
• 4.39. probléma (a könyv 157. oldalán): A hegyesszögű $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő szög $60^\circ$-os. A háromszög $B$-ből induló magasságának talppontja $D$, a $C$-ből induló magasság talppontja pedig $E$. Jelölje $M$ a háromszög magasságpontját, $O$ pedig a körülírt kör középpontját. Mutassuk meg, hogy az $OM$ egyenes felezi a $BME$ szöget!
• 4.49. probléma* (a könyv 164. oldalán): Az $ABCD$ húrnégyszögben fennáll az $AB+CD=BC$ egyenlőség. Igazoljuk, hogy az $A$, illetve a $D$ pontból húzott belső szögfelezők metszéspontja a $BC$ szakaszra esik!
• 4.62. probléma** (ld. még 4.61; a könyv 179. oldalán): Adott $ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontja legyen $X$. Bocsássunk $X$-ből merőlegeseket a négyszög oldalaira, ezek talppontjai az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalon legyenek rendre $P$, $Q$, $R$, $S$. Igazoljuk, hogy az $ABCD$ négyszögbe írható összes négyszöget tekintve, a $PQRS$ négyszögnél nincs kisebb kerületű beírt négyszög!