Nevezetes egyenlőtlenségek - Számtani-mértani egyenlőtlenségek témakörbe eső problémák:

• 3.9. probléma** (ld. még 3.8; a könyv 98. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr^+$, $i=1,2,\ldots,n$, $n\in \nn^+$, $n\geq2,$ akkor $$\root n \of{a_1a_2\cdots a_n}\leq{{a_1+a_2+\cdots+a_n}\over n}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha $a_1=a_2=\ldots=a_n.$
• 3.12. probléma* (ld. még 3.9, 3.19; a könyv 106. oldalán): Mutassuk meg, hogy $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n< \left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$
• 3.14. probléma* (a könyv 108. oldalán): Keressünk olyan $k$ és $K$ számot, hogy ha $a$ és $b$ pozitív számok, $a+b=1,$ akkor $$k\leq \left(1+{1\over a}\right)\left(1+{1\over b}\right)\leq K.$$
• 3.15. probléma* (a könyv 110. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalai $a,b,c,$ a területe pedig $t$, akkor $$a^2+b^2+c^2\geq 4t\sqrt3.$$
• 3.16. probléma* (a könyv 112. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $x_1,\,x_2,\ldots,x_n$ pozitív számok, $x_1+ x_2+\cdots+x_n=s,$ akkor $$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq1+s+{{s^2}\over{2!}} +{{s^3}\over{3!}}+\cdots+{{s^n}\over{n!}}.$$
• 3.17. probléma (a könyv 112. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy $$\log_2\,3+\log_3\,4+\log_4\,5+\log_5\,6>5.$$
• 3.19. probléma* (ld. még 3.12, 3.11; a könyv 113. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n <\left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$ \mitem{b)} Van-e olyan $k$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n<k?$$
• 3.20. probléma** (a könyv 116. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ pozitív számok, ahol $n\in \nn^+$, \hbox{$n\geq3$,} $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, $a_{n+3}=a_3,$, akkor $$S={{a_1}\over{a_2+a_3}}+{{a_2}\over{a_3+a_4}}+\cdots+{{a_n}\over{a_1+a_2}} >{n\over4}.$$
• 3.28. probléma (a könyv 123. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív egész számok, $a+b+c+d=30,$ akkor mivel egyenlő az $abcd$ szorzat maximuma?
• 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
• 4.54. probléma* (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét pedig $t$. Igazoljuk, hogy $$t \leq {{\sqrt{3}} \over 4} \cdot {{\left({{a+b+c} \over 3}\right)}^2}$$