Nevezetes egyenlőtlenségek - Hatványközepek közötti egyenlőtlenség témakörbe eső problémák:

• 3.27. probléma (a könyv 122. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\>b\in \rr^+$, $a+b=1,$ akkor $$\left(a+ {1\over a}\right)^2+\left(b+{1\over b}\right)^2\geq{{25}\over2}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a,\>b, \>c,\in \rr^+$, $a+b+c=1,$ akkor $$\left(a+{1\over a}\right)^2+\left(b+ {1\over b}\right)^2+\left(c+{1\over c}\right)^2\geq K.$$ \mitem{c)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a_1,a_2, \ldots,a_n\in \rr^+$, $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$\left(a_1+ {1\over a_1}\right)^2+\left(a_2+{1\over a_2}\right)^2+\cdots+\left(a_n+ {1\over{a_n}} \right)^2\geq K.$$ Keressük meg $K$ lehetséges legnagyobb értékét.\par
• 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
• 4.69. probléma* (a könyv 187. oldalán): Az egységnyi élű kocka felületén halad egy zárt töröttvonal úgy, hogy ennek a kocka minden lapján van szakasza. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal hossza nem kisebb $3{\sqrt{2}}$-nél!