Nevezetes egyenlőtlenségek - Egyéb nevezetes egyenlőtlenségek témakörbe eső problémák:

• 3.9. probléma** (ld. még 3.8; a könyv 98. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr^+$, $i=1,2,\ldots,n$, $n\in \nn^+$, $n\geq2,$ akkor $$\root n \of{a_1a_2\cdots a_n}\leq{{a_1+a_2+\cdots+a_n}\over n}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha $a_1=a_2=\ldots=a_n.$
• 3.10. probléma* (ld. még 3.9; a könyv 104. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ pozitív számok, akkor $$a+b+c\leq {{a^2+b^2}\over{2c}}+{{b^2+c^2}\over{2a}}+{{c^2+a^2}\over{2b}}\leq{{a^3} \over{bc}}+{{b^3}\over{ca}}+{{c^3}\over{ab}}.$$
• 3.24. probléma* (a könyv 119. oldalán): A síkban a $P_1(x_1,y_1),\>P_2(x_2,y_2)$ pontok távolságát a $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ formula szolgáltatja. Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség:$$ d(P_1,P_2)\leq d(P_1,P_3)+d(P_3,P_2),$$ azaz $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- y_2)^2}\leq\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}.$$ Vezessük be az $x_1-x_3=a_1$, $x_3-x_2=a_2$, $y_1-y_3=b_1$, $y_3-y_2=b_2$ jelöléseket. Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség így írható:$$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} \leq\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:$$a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)\leq a_1^2+a_2^2+b_1^2+ b_2^2+2\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ azaz $$a_1a_2+b_1b_2\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A síkot, illetve a teret $2$-, illetve $3$-dimenziós térnek nevezve, az $n$-dimenziós teret értelmezhetjük úgy, mint az $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ szám n-esek halmazát. Két pont $P(x_1,\ldots,x_n)$, $Q(y_1,\ldots, y_n)$ távolságát most így definiáljuk: $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1- y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$ Leolvasható, hogy $d(P,Q)\geq0,$ $d(P,Q)$ akkor és csak akkor $0$, ha $P=Q,$ továbbá $d(P,Q)=d(Q,P)$. Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontok esetén $$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q)?$$ Más módon írva ugyanez az egyenlőtlenség:$$\eqalign{&\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\cr&\qquad\leq\sqrt{(x_1- z_1)^2+\cdots+(x_n-z_n)^2}+\sqrt{(z_1-y_1)^2+\cdots+(z_n-y_n)^2}.\cr}$$ Vezessük be az $x_i-z_i=a_i$, $z_i-y_i=b_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ jelöléseket. E jelölésekkel a kérdés így hangzik: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:$$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2} \leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}?$$ Négyzetre emelve és egyszerűsítve: $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítsuk be!
• 3.25. probléma (ld. még 3.9; a könyv 121. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr$, $i=1,2,\ldots,n$; $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq{1\over n}.$$
• 6.3. probléma** (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 252. oldalán): Az előző példa után természetes módon merül fel az a kérdés, hogy ha $a$ pozitív szám, akkor létezik-e $K$ szám úgy, hogy az $$1+{1\over{2^a}}+{1\over{3^a}}+\cdots+{1\over {n^a}}$$ összeg minden $n\in \nn^+$ esetén $K$ alatt marad? Ha $a>2,$ akkor mint azt az egyenlőtlenségekről szóló fejezetben láttuk, minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}\leq1+{1\over{2^2}} +\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$ Ha $0<a<1,$ akkor minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}>1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}.$$ Az előbbi példát felhasználva ez azt jelenti, hogy ilyen $a$-k esetén nincs alkalmas $K$. Az a kérdés maradt, hogy korlátos-e az $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}$$ összeg, ha $1<a<2$?
• 6.5. probléma* (ld. még 6.2, 6.3; a könyv 254. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq2$ akkor $$2\sqrt{n+1}- 2\sqrt n< {1\over{\sqrt n}}<2\sqrt n-2\sqrt{n-1}.$$ \mitem{b)} Keressünk olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre $$1999<1+{1\over\sqrt2}+{1\over\sqrt3}+\cdots+{1\over\sqrt n}<2000.$$
• 6.8. probléma* (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 256. oldalán): Igazoljuk, hogy bármely háromszögben található két olyan oldal, melyek hosszai különbségének abszolút értéke kisebb, mint a kerület hatodrésze.