Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Nevezetes egyenlőtlenségek - Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség témakörbe eső problémák:
- 2.5. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.4; a könyv 21. oldalán): \'Irjunk fel olyan azonosságot, amelynek speciális eseteként adódik a \prob{pl5}., \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ példa. Igazoljuk is a felírt azonosságot!
- 3.24. probléma* (a könyv 119. oldalán): A síkban a $P_1(x_1,y_1),\>P_2(x_2,y_2)$ pontok távolságát a $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ formula szolgáltatja. Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség:$$ d(P_1,P_2)\leq d(P_1,P_3)+d(P_3,P_2),$$ azaz $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- y_2)^2}\leq\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}.$$ Vezessük be az $x_1-x_3=a_1$, $x_3-x_2=a_2$, $y_1-y_3=b_1$, $y_3-y_2=b_2$ jelöléseket. Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség így írható:$$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} \leq\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:$$a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)\leq a_1^2+a_2^2+b_1^2+ b_2^2+2\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ azaz $$a_1a_2+b_1b_2\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A síkot, illetve a teret $2$-, illetve $3$-dimenziós térnek nevezve, az $n$-dimenziós teret értelmezhetjük úgy, mint az $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ szám n-esek halmazát. Két pont $P(x_1,\ldots,x_n)$, $Q(y_1,\ldots, y_n)$ távolságát most így definiáljuk: $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1- y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$ Leolvasható, hogy $d(P,Q)\geq0,$ $d(P,Q)$ akkor és csak akkor $0$, ha $P=Q,$ továbbá $d(P,Q)=d(Q,P)$. Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontok esetén $$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q)?$$ Más módon írva ugyanez az egyenlőtlenség:$$\eqalign{&\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\cr&\qquad\leq\sqrt{(x_1- z_1)^2+\cdots+(x_n-z_n)^2}+\sqrt{(z_1-y_1)^2+\cdots+(z_n-y_n)^2}.\cr}$$ Vezessük be az $x_i-z_i=a_i$, $z_i-y_i=b_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ jelöléseket. E jelölésekkel a kérdés így hangzik: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:$$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2} \leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}?$$ Négyzetre emelve és egyszerűsítve: $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítsuk be!
- 3.25. probléma (ld. még 3.9; a könyv 121. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr$, $i=1,2,\ldots,n$; $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq{1\over n}.$$
- 3.26. probléma (a könyv 121. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ olyan valós számok, hogy $$a+ b+c+d+e=20;\quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=100.$$ Állapítsuk meg, hogy legfeljebb mekkora lehet $e$.
- 3.27. probléma (a könyv 122. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\>b\in \rr^+$, $a+b=1,$ akkor $$\left(a+ {1\over a}\right)^2+\left(b+{1\over b}\right)^2\geq{{25}\over2}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a,\>b, \>c,\in \rr^+$, $a+b+c=1,$ akkor $$\left(a+{1\over a}\right)^2+\left(b+ {1\over b}\right)^2+\left(c+{1\over c}\right)^2\geq K.$$ \mitem{c)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a_1,a_2, \ldots,a_n\in \rr^+$, $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$\left(a_1+ {1\over a_1}\right)^2+\left(a_2+{1\over a_2}\right)^2+\cdots+\left(a_n+ {1\over{a_n}} \right)^2\geq K.$$ Keressük meg $K$ lehetséges legnagyobb értékét.\par