Logikai feladatok - Hol a hiba? témakörbe eső problémák:

• 5.4. probléma (ld. még 5.3, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 213. oldalán): Az \aref{pk22}.\ ábrán látható két pörgettyűt megpörgetve a kapott számokat összeszorozzuk, és keressük, hogy mekkora valószínűséggel lesz ez a szorzat páros. Egy tanuló ezt mondja: \idez{Egy szorzat páros, ha valamelyik tényezője páros, az első pörgettyűn ${2/3}$ valószínűséggel kapunk páros számot, a másodikon ${1/2}$ valószínűséggel, így a páros szorzat valószínűsége ${2/3}+{1/2}={7/6}>1$.} Mi a hiba?
• 5.17. probléma* (a könyv 223. oldalán): Véletlenszerűen választva a gyöngyök sorrendjét $3$ fehér és $5$ piros gyöngyből nyakláncot fűzünk. Mi a valószínűsége, hogy két fehér gyöngy nem lesz egymás mellett? \par\noindent András megoldása. {\rm Számoljuk meg, összesen hányféleképpen fűzhetők fel a gyöngyök. Először eltervezzük a fehérek helyét, és a fehér gyöngyök által meghatározott három ívre tesszük rá a pirosakat. Erre $5$ lehetőség van: $0+0+5;\ 0+1+4;\ 0+2+3;\ 1+1+3;\ 1+2+2$. Ezek közül kettő olyan, amikor két fehér gyöngy közé mindig kerül piros, így a keresett valószínűség: $2/5$.} \par\noindent Béla megoldása. {\rm Ha egy szakaszon kellene elhelyezni a gyöngyöket, akkor ${{8!}/({5!\cdot3!})}$ lehetőség volna, hiszen a $8$ gyöngyből $5$ illetve $3$ egyforma. A nyaklánc körbe fordulhat, $8$ helyen vághatom szét, hogy egyenes legyen, így az előző esetszámot osztani kell $8$-cal, vagyis $7$-féle nyaklánc fűzhető. Most azt számoljuk ki, hányféleképpen kerülhet két fehér gyöngy egymás mellé. Tekintsük egynek a két fehér gyöngyöt, ekkor a nyakláncon a gyöngyök összes lehetséges sorrendje $(1/7)\cdot({7!}/{5!})-1=5$, hiszen most az egy fehér különbözik a két fehértől, kivéve azt az egy esetet, amikor egymás mellett vannak. Így $7-5=2$ esetben nincs egymás mellett két fehér, vagyis a keresett valószínűség $2/7$. } \par\noindent Melyikük megoldását fogadjuk el?
• 5.23. probléma* (a könyv 226. oldalán): Négy piros, három fehér és két kék golyót találomra egymás mellé téve mi a valószínűsége annak, hogy fehér golyók nem kerülnek egymás mellé? \par\noindent András megoldása. {\rm A golyók összes lehetséges sorrendje: $${{9!}\over{4! 3!2!}}=4\cdot5\cdot7\cdot9=1260.$$ A kedvező eseteket úgy számoljuk össze, hogy először sorbarakjuk a nem fehér golyókat, jelük $o$, ezt ${{6!}/(4!2!)}=15$-féleképpen tehetjük, utána ezek közé, elé, mögé a \hbox{$\oszt$-val} jelölt helyek közül háromra elhelyezzük a három fehér golyót $(\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt)$. $7$ helyre $3$ egyforma golyót $\left(7\atop3\right)=35$-féleképpen helyezhetünk, így a kedvező esetek száma $15\cdot35=3\cdot5^2\cdot7.$ A keresett valószínűség: $${{3\cdot5^2\cdot7}\over{4\cdot5\cdot7\cdot9}}={5\over{3\cdot4}}={5\over{12}}.$$} \par\noindent Béla megoldása. {\rm A vizsgált esemény komplementerének a valószínűségét számoljuk ki, vagyis azt, hogy mekkora eséllyel van két fehér golyó egymás mellett. A két fehér golyót egynek vesszük, így a kedvező esetek száma ${{8!}/(4!\cdot2!)},$ mert $4$ piros, $2$ kék, $1$ dupla fehér, $1$ szimpla fehér golyónk van. Az összes eset most is ${{9!}/(4!\cdot3!\cdot2!)}$, így a keresett valószínűség: $$1-{\displaystyle{{8!}\over{4!\cdot2!}}\over\displaystyle{{9!}\over{4! \cdot3!\cdot2!}}}=1-{{8!\cdot3!}\over{9!}}=1-{2\over3}={1\over3}.$$} \par\noindent Kinek a megoldását fogadjuk el? Miért?