Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Középértékek - Számtani közép témakörbe eső problémák:
- 3.9. probléma** (ld. még 3.8; a könyv 98. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr^+$, $i=1,2,\ldots,n$, $n\in \nn^+$, $n\geq2,$ akkor $$\root n \of{a_1a_2\cdots a_n}\leq{{a_1+a_2+\cdots+a_n}\over n}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha $a_1=a_2=\ldots=a_n.$
- 3.12. probléma* (ld. még 3.9, 3.19; a könyv 106. oldalán): Mutassuk meg, hogy $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n< \left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$
- 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
- 4.54. probléma* (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét pedig $t$. Igazoljuk, hogy $$t \leq {{\sqrt{3}} \over 4} \cdot {{\left({{a+b+c} \over 3}\right)}^2}$$
- 4.69. probléma* (a könyv 187. oldalán): Az egységnyi élű kocka felületén halad egy zárt töröttvonal úgy, hogy ennek a kocka minden lapján van szakasza. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal hossza nem kisebb $3{\sqrt{2}}$-nél!
- 6.19. probléma* (a könyv 270. oldalán): Legyen $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$; $p_1,p_2,\ldots,p_n$ pozitív számok, $p_1+p_2+\cdots+p_n=1.$ Mutassuk meg, hogy $$G=a_1^{p_1}a_2^{p_2} \cdots a_n^{p_n}\leq p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n=A.$$