Koordináta-geometria - Két pont távolsága, szakasz hosszúsága témakörbe eső problémák:

• 3.24. probléma* (a könyv 119. oldalán): A síkban a $P_1(x_1,y_1),\>P_2(x_2,y_2)$ pontok távolságát a $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ formula szolgáltatja. Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség:$$ d(P_1,P_2)\leq d(P_1,P_3)+d(P_3,P_2),$$ azaz $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- y_2)^2}\leq\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}.$$ Vezessük be az $x_1-x_3=a_1$, $x_3-x_2=a_2$, $y_1-y_3=b_1$, $y_3-y_2=b_2$ jelöléseket. Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség így írható:$$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} \leq\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:$$a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)\leq a_1^2+a_2^2+b_1^2+ b_2^2+2\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ azaz $$a_1a_2+b_1b_2\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A síkot, illetve a teret $2$-, illetve $3$-dimenziós térnek nevezve, az $n$-dimenziós teret értelmezhetjük úgy, mint az $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ szám n-esek halmazát. Két pont $P(x_1,\ldots,x_n)$, $Q(y_1,\ldots, y_n)$ távolságát most így definiáljuk: $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1- y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$ Leolvasható, hogy $d(P,Q)\geq0,$ $d(P,Q)$ akkor és csak akkor $0$, ha $P=Q,$ továbbá $d(P,Q)=d(Q,P)$. Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontok esetén $$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q)?$$ Más módon írva ugyanez az egyenlőtlenség:$$\eqalign{&\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\cr&\qquad\leq\sqrt{(x_1- z_1)^2+\cdots+(x_n-z_n)^2}+\sqrt{(z_1-y_1)^2+\cdots+(z_n-y_n)^2}.\cr}$$ Vezessük be az $x_i-z_i=a_i$, $z_i-y_i=b_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ jelöléseket. E jelölésekkel a kérdés így hangzik: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:$$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2} \leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}?$$ Négyzetre emelve és egyszerűsítve: $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítsuk be!