Kombinatorikus geometria - Kombinatorikus geometria síkban témakörbe eső problémák:

• 4.70. probléma* (ld. még 4.71; a könyv 188. oldalán): Igaz-e, hogy az egységnyi sugarú zárt körlemezen nem lehet ötnél több pontot úgy elhelyezni, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen?
• 4.71. probléma* (ld. még 4.70; a könyv 188. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a $10$ egység sugarú zárt körlemezen nem lehet $450$ pontot elhelyezni úgy, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen!
• 4.72. probléma* (a könyv 188. oldalán): A síkban elhelyeztünk $4$-nél nem kevesebb pontot úgy, hogy bármely három pont által meghatározott háromszög területe $1$-nél kisebb. Mutassuk meg, hogy van olyan $4$-nél kisebb területű háromszög, amely az összes pontot lefedi!
• 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
• 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
• 4.76. probléma* (a könyv 194. oldalán): \mitem{a)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab körvonal? \mitem{b)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab háromszög?\par
• 4.78. probléma* (a könyv 195. oldalán): Elhelyezhető-e a síkban \mitem{a)} hat, \mitem{b)} nyolc, \mitem{c)} hét \par\noindent szakasz úgy, hogy mindegyik szakasz pontosan három másikat messen?
• 4.79. probléma** (a könyv 196. oldalán): Legfeljebb hány pontban metszheti egymást a sík $k$ darab körvonala és $n$ darab egyenese?
• 4.80. probléma** (ld. még 4.81, 4.82; a könyv 197. oldalán): Adott a síkban véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy egyenesre. Van-e a síknak olyan egyenese, amelyik pontosan két pontot tartalmaz az adottak közül?
• 4.82. probléma** (ld. még 4.80, 4.81; a könyv 200. oldalán): Adott a térben véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy síkra. Van-e olyan sík, amelyre illeszkedő adott pontok a síknak legfeljebb két egyenesén helyezkednek el?
• 4.83. probléma** (ld. még 4.80, 4.87, 4.88; a könyv 200. oldalán): Adott a síkban véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Van-e a síknak olyan köre, amelyik pontosan három adott pontot tartalmaz?
• 4.84. probléma** (ld. még 4.80; a könyv 201. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy az adott pontok által meghatározott egyenesek száma legalább $n$.
• 4.85. probléma* (ld. még 4.83, 4.84, 4.86; a könyv 202. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy egy kivételével mind egy körre illeszkednek. Határozzuk meg azon körök számát, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek!
• 4.86. probléma** (ld. még 4.83, 4.84, 4.85; a könyv 202. oldalán): Adott a síkban $n$ pont úgy, hogy nem illeszkednek mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Igaz-e, hogy azon körök száma, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek legalább $\left({n-1 \atop 2}\right)+1$?
• 4.87. probléma* (ld. még 4.88; a könyv 203. oldalán): Adott a síkon háromnál több, de véges sok pont úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy egyenesre. Lehet-e minden esetben olyan kört találni, amely legalább három adott ponton átmegy, és amelynek belsejében egy sincs az adott pontok közül?
• 4.88. probléma** (ld. még 4.87; a könyv 204. oldalán): Adott a síkon $2n+3$ pont úgy, hogy közülük semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre és semelyik négy nem illeszkedik egy körre. Mutassuk meg, hogy van olyan kör, amelyik illeszkedik három adott pontra, és felezi a ponthalmazt abban az értelemben, hogy a belsejében is, és rajta kívül is pontosan $n$ darab pont található az adott pontok közül!
• 4.89. probléma** (ld. még 4.88; a könyv 206. oldalán): Adott a síkban $2n$ pont úgy, hogy nincs közöttük három, amelyek egy egyenesre illeszkednek. Bizonyítsuk be, hogy azon egyenesek száma, amelyek pontosan két adott pontra illeszkednek és felezik az adott ponthalmazt $($az általuk meghatározott mindkét félsíkban pontosan $n-1$ adott pont van$)$ legfeljebb $2n\sqrt{2n}$!