Kombinatorika - Permutációk témakörbe eső problémák:

• 5.7. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Egy játékban választhatunk, hogy egy szabályos dobókockával dobunk, és nyerünk, ha $6$-t dobtunk, vagy két kockával dobunk, és nyerünk, ha a kapott számok összege $6$. Melyiket válasszuk?
• 5.16. probléma* (ld. még 5.10; a könyv 221. oldalán): Egy kukoricapelyhet úgy akarnak népszerűbbé tenni, hogy minden dobozba belecsomagolnak egy mesefigurát. Hatféle mesefigura van, mindegyikből ugyanannyi, és mindegyikből nagyon sok, így feltehetjük, hogy akármikor veszünk egy dobozt, abban egyforma valószínűséggel lehet a hat figura valamelyike. A hónap eleji nagy bevásárláskor $15$ doboz kukoricapelyhet vásároltunk. Mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek? \mitem{(a)} Mindegyik dobozban ugyanolyan figura van. \mitem{(b)} Valamelyik figurából $10$ db-ot kaptunk, a többiből egyet-egyet. \mitem{(c)} Valamelyik figurából $5$ db-ot kaptunk, a többiből $2-2$-t. \mitem{(d)} Valamelyik figurából $4$ db-ot kaptunk, egy másikból $3$-t, a többiből $2-2$-t. \mitem{(e)} Mindegyik figurából legalább $2$ db-ot kaptunk.\par
• 5.17. probléma* (a könyv 223. oldalán): Véletlenszerűen választva a gyöngyök sorrendjét $3$ fehér és $5$ piros gyöngyből nyakláncot fűzünk. Mi a valószínűsége, hogy két fehér gyöngy nem lesz egymás mellett? \par\noindent András megoldása. {\rm Számoljuk meg, összesen hányféleképpen fűzhetők fel a gyöngyök. Először eltervezzük a fehérek helyét, és a fehér gyöngyök által meghatározott három ívre tesszük rá a pirosakat. Erre $5$ lehetőség van: $0+0+5;\ 0+1+4;\ 0+2+3;\ 1+1+3;\ 1+2+2$. Ezek közül kettő olyan, amikor két fehér gyöngy közé mindig kerül piros, így a keresett valószínűség: $2/5$.} \par\noindent Béla megoldása. {\rm Ha egy szakaszon kellene elhelyezni a gyöngyöket, akkor ${{8!}/({5!\cdot3!})}$ lehetőség volna, hiszen a $8$ gyöngyből $5$ illetve $3$ egyforma. A nyaklánc körbe fordulhat, $8$ helyen vághatom szét, hogy egyenes legyen, így az előző esetszámot osztani kell $8$-cal, vagyis $7$-féle nyaklánc fűzhető. Most azt számoljuk ki, hányféleképpen kerülhet két fehér gyöngy egymás mellé. Tekintsük egynek a két fehér gyöngyöt, ekkor a nyakláncon a gyöngyök összes lehetséges sorrendje $(1/7)\cdot({7!}/{5!})-1=5$, hiszen most az egy fehér különbözik a két fehértől, kivéve azt az egy esetet, amikor egymás mellett vannak. Így $7-5=2$ esetben nincs egymás mellett két fehér, vagyis a keresett valószínűség $2/7$. } \par\noindent Melyikük megoldását fogadjuk el?
• 5.18. probléma* (a könyv 223. oldalán): \mitem{(a)} Gabi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ különböző pár kesztyű van. Síelni indul, és véletlenszerűen kivesz $8$ darab kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki? \mitem{(b)} Zsuzsi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ egyforma pár kesztyű van. Induláskor véletlenszerűen kivesz $8$ kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki?\par
• 5.23. probléma* (a könyv 226. oldalán): Négy piros, három fehér és két kék golyót találomra egymás mellé téve mi a valószínűsége annak, hogy fehér golyók nem kerülnek egymás mellé? \par\noindent András megoldása. {\rm A golyók összes lehetséges sorrendje: $${{9!}\over{4! 3!2!}}=4\cdot5\cdot7\cdot9=1260.$$ A kedvező eseteket úgy számoljuk össze, hogy először sorbarakjuk a nem fehér golyókat, jelük $o$, ezt ${{6!}/(4!2!)}=15$-féleképpen tehetjük, utána ezek közé, elé, mögé a \hbox{$\oszt$-val} jelölt helyek közül háromra elhelyezzük a három fehér golyót $(\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt)$. $7$ helyre $3$ egyforma golyót $\left(7\atop3\right)=35$-féleképpen helyezhetünk, így a kedvező esetek száma $15\cdot35=3\cdot5^2\cdot7.$ A keresett valószínűség: $${{3\cdot5^2\cdot7}\over{4\cdot5\cdot7\cdot9}}={5\over{3\cdot4}}={5\over{12}}.$$} \par\noindent Béla megoldása. {\rm A vizsgált esemény komplementerének a valószínűségét számoljuk ki, vagyis azt, hogy mekkora eséllyel van két fehér golyó egymás mellett. A két fehér golyót egynek vesszük, így a kedvező esetek száma ${{8!}/(4!\cdot2!)},$ mert $4$ piros, $2$ kék, $1$ dupla fehér, $1$ szimpla fehér golyónk van. Az összes eset most is ${{9!}/(4!\cdot3!\cdot2!)}$, így a keresett valószínűség: $$1-{\displaystyle{{8!}\over{4!\cdot2!}}\over\displaystyle{{9!}\over{4! \cdot3!\cdot2!}}}=1-{{8!\cdot3!}\over{9!}}=1-{2\over3}={1\over3}.$$} \par\noindent Kinek a megoldását fogadjuk el? Miért?
• 5.45. probléma* (a könyv 243. oldalán): Egy adott körön találomra választjuk az $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ pontokat $($\aref{pk28}.\ ábra$)$. Mennyi a valószínűsége, hogy az $ABC$ háromszög és a $DEF$ háromszög idegenek?