Kombinatorika - Megszámlálások témakörbe eső problémák:

• 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
• 4.74. probléma* (ld. még 4.73, 4.75; a könyv 191. oldalán): Hány részre osztja a teret $n$ darab olyan sík, amelyek közül bármely háromnak van közös pontja, de semelyik négy $($vagy több$)$ síknak nincs közös pontja?
• 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
• 4.76. probléma* (a könyv 194. oldalán): \mitem{a)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab körvonal? \mitem{b)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab háromszög?\par
• 4.77. probléma* (ld. még 4.74; a könyv 194. oldalán): Adott $n$ sík, amelyek mindegyike tartalmazza a $P$ pontot, de semelyik három síknak nincs közös egyenese. Hány részre osztják ezek a síkok a teret?
• 4.79. probléma** (a könyv 196. oldalán): Legfeljebb hány pontban metszheti egymást a sík $k$ darab körvonala és $n$ darab egyenese?
• 4.85. probléma* (ld. még 4.83, 4.84, 4.86; a könyv 202. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy egy kivételével mind egy körre illeszkednek. Határozzuk meg azon körök számát, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek!
• 4.86. probléma** (ld. még 4.83, 4.84, 4.85; a könyv 202. oldalán): Adott a síkban $n$ pont úgy, hogy nem illeszkednek mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Igaz-e, hogy azon körök száma, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek legalább $\left({n-1 \atop 2}\right)+1$?
• 5.2. probléma (ld. még 5.1; a könyv 211. oldalán): Három szabályos dobókockát feldobunk. \mitem{(a)}Mi a valószínűsége, hogy mindegyik dobott szám különböző? \mitem{(b)}Mi a valószínűsége, hogy nem mindegyik kocka mutatja ugyanazt a számot?\par
• 5.7. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Egy játékban választhatunk, hogy egy szabályos dobókockával dobunk, és nyerünk, ha $6$-t dobtunk, vagy két kockával dobunk, és nyerünk, ha a kapott számok összege $6$. Melyiket válasszuk?
• 5.8. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Csaba a következő játékot javasolja Neked: \idez{Feldobtok két szabályos dobókockát. Ha a két szám szorzata páratlan, vagy $5$-tel osztható, akkor Te nyersz, különben Csaba nyer.} Kinek előnyösebb a játék, és mekkora a Te nyerési esélyed?
• 5.13. probléma* (ld. még 5.14, 5.15; a könyv 219. oldalán): {\rm Efron kockái. (Bradley Efron stanfordi statisztikus fedezte fel a következő kockákat, a játék Martin Gardner {\rm Mathematical Games} című rovatában jelent meg a {\it Scientific American} 1970 decemberi számában)} \par Az \aref{pk01}.\ ábrán látható az $A$, $B$, $C$, $D$ kockák hálója, a kockák minden lapján egy-egy szám. Te meg én azt a játékot játsszuk, hogy először Te választasz egy kockát, aztán én, mindketten feldobjuk a kockánkat, és az nyer, aki nagyobb számot dob. Kinek nagyobb a nyerési esélye?
• 5.14. probléma* (ld. még 5.12, 5.14; a könyv 220. oldalán): Elhelyezhetők-e $1$-től $18$-ig az egész számok egy piros, egy kék és egy zöld kocka lapjain úgy, hogy minden szám pontosan egyszer szerepeljen, és $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a piros kockával nagyobb számot dobunk, mint a kékkel, $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a zölddel, mégis $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a zöld kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal.
• 5.16. probléma* (ld. még 5.10; a könyv 221. oldalán): Egy kukoricapelyhet úgy akarnak népszerűbbé tenni, hogy minden dobozba belecsomagolnak egy mesefigurát. Hatféle mesefigura van, mindegyikből ugyanannyi, és mindegyikből nagyon sok, így feltehetjük, hogy akármikor veszünk egy dobozt, abban egyforma valószínűséggel lehet a hat figura valamelyike. A hónap eleji nagy bevásárláskor $15$ doboz kukoricapelyhet vásároltunk. Mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek? \mitem{(a)} Mindegyik dobozban ugyanolyan figura van. \mitem{(b)} Valamelyik figurából $10$ db-ot kaptunk, a többiből egyet-egyet. \mitem{(c)} Valamelyik figurából $5$ db-ot kaptunk, a többiből $2-2$-t. \mitem{(d)} Valamelyik figurából $4$ db-ot kaptunk, egy másikból $3$-t, a többiből $2-2$-t. \mitem{(e)} Mindegyik figurából legalább $2$ db-ot kaptunk.\par
• 5.17. probléma* (a könyv 223. oldalán): Véletlenszerűen választva a gyöngyök sorrendjét $3$ fehér és $5$ piros gyöngyből nyakláncot fűzünk. Mi a valószínűsége, hogy két fehér gyöngy nem lesz egymás mellett? \par\noindent András megoldása. {\rm Számoljuk meg, összesen hányféleképpen fűzhetők fel a gyöngyök. Először eltervezzük a fehérek helyét, és a fehér gyöngyök által meghatározott három ívre tesszük rá a pirosakat. Erre $5$ lehetőség van: $0+0+5;\ 0+1+4;\ 0+2+3;\ 1+1+3;\ 1+2+2$. Ezek közül kettő olyan, amikor két fehér gyöngy közé mindig kerül piros, így a keresett valószínűség: $2/5$.} \par\noindent Béla megoldása. {\rm Ha egy szakaszon kellene elhelyezni a gyöngyöket, akkor ${{8!}/({5!\cdot3!})}$ lehetőség volna, hiszen a $8$ gyöngyből $5$ illetve $3$ egyforma. A nyaklánc körbe fordulhat, $8$ helyen vághatom szét, hogy egyenes legyen, így az előző esetszámot osztani kell $8$-cal, vagyis $7$-féle nyaklánc fűzhető. Most azt számoljuk ki, hányféleképpen kerülhet két fehér gyöngy egymás mellé. Tekintsük egynek a két fehér gyöngyöt, ekkor a nyakláncon a gyöngyök összes lehetséges sorrendje $(1/7)\cdot({7!}/{5!})-1=5$, hiszen most az egy fehér különbözik a két fehértől, kivéve azt az egy esetet, amikor egymás mellett vannak. Így $7-5=2$ esetben nincs egymás mellett két fehér, vagyis a keresett valószínűség $2/7$. } \par\noindent Melyikük megoldását fogadjuk el?
• 5.18. probléma* (a könyv 223. oldalán): \mitem{(a)} Gabi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ különböző pár kesztyű van. Síelni indul, és véletlenszerűen kivesz $8$ darab kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki? \mitem{(b)} Zsuzsi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ egyforma pár kesztyű van. Induláskor véletlenszerűen kivesz $8$ kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki?\par
• 5.21. probléma (a könyv 226. oldalán): Azok közül az egész számokból álló $(b;c)$ rendezett számpárok közül, melyeknek mindkét eleme abszolút értékben legfeljebb $5$-tel, egyenlő, találomra kiválasztunk egyet. Mindegyik ilyen rendezett számpár kiválasztása egyenlően valószínű. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az $x^2+bx+c=0$ egyenletnek nincsenek különböző pozitív valós gyökei?
• 5.49. probléma** (a könyv 246. oldalán): {\rm A szavazási probléma.}\ Tegyük fel, hogy egy választáson két jelölt van, $P$ és $Q$. A $P$ jelölt $p$ szavazatot kapott, $Q$ pedig $q$ szavazatot, $p>q.$ Ha a szavazatok minden sorrendje egyformán valószínű, akkor mi a valószínűsége annak, hogy $P$ a szavazatszámlálás során végig vezetett?
• 6.4. probléma** (ld. még 6.2; a könyv 253. oldalán): Jelöljük $d(n)$-nel az $n$ pozitív egész szám osztóinak a számát. Néhány speciális eset: $d(1)=1$, $d(2)=2$, $d(3)=2$, $d(4)=3$, $d(6)=4$, $d(12)=6$. Ha $p$ prímszám, akkor $d(p)=2,$ ha $n=2^k,$ ahol $k\in \nn^+,$ akkor $d(n)=k+1.$ Ebből az is leolvasható, hogy tetszőlegesen megadva $M$ számot, van olyan $n$ egész szám, hogy $d(n)>M.$ Amint az eddigi példák is mutatják a $d(n)$ számok \idez{elég szabálytalanul} ingadoznak. A kérdés ezek után az, hogy vajon az átlagról tudnánk-e valami jellegzeteset mondani? Tudnánk-e becslést adni a $${{d(1)+d(2)+\cdots+d(n)}\over n}$$ számtani középre?