Kombinatorika - Kombinációk témakörbe eső problémák:

• 1.19. probléma (ld. még 1.20; a könyv 17. oldalán): Mi az esélye annak, hogy egy játékos a lottón $($ahol $5$ számot kell eltalálni $90$-ből$)$ egy szelvénnyel játszva $5$-ös találatot érjen el?
• 1.20. probléma (ld. még 1.19; a könyv 19. oldalán): A kenó esetén $80$ számból lehet $1$-et, $2$-et, $\ldots$, vagy $10$-et bejelölni, és $10$ számot húznak ki. Az $\the\chap.1.$\ táblázat szerint $($ahol az oszlopokban a szelvényen bejelölt számok száma, a sorokban pedig a találatok száma szerepel$)$ a találatok száma alapján a tét összegének valahányszorosát nyeri vissza a játékos. Ahol a táblázat nincs kitöltve, ott a játékos nem nyer semmit. Számítsuk ki, hogy mekkora a visszanyert összeg várható értéke!
• 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
• 4.74. probléma* (ld. még 4.73, 4.75; a könyv 191. oldalán): Hány részre osztja a teret $n$ darab olyan sík, amelyek közül bármely háromnak van közös pontja, de semelyik négy $($vagy több$)$ síknak nincs közös pontja?
• 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
• 4.79. probléma** (a könyv 196. oldalán): Legfeljebb hány pontban metszheti egymást a sík $k$ darab körvonala és $n$ darab egyenese?
• 5.18. probléma* (a könyv 223. oldalán): \mitem{(a)} Gabi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ különböző pár kesztyű van. Síelni indul, és véletlenszerűen kivesz $8$ darab kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki? \mitem{(b)} Zsuzsi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ egyforma pár kesztyű van. Induláskor véletlenszerűen kivesz $8$ kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki?\par
• 5.22. probléma (a könyv 226. oldalán): Egy dobozban két darab $1$ forintos, négy darab $5$ forintos és hat darab $10$ forintos érme van. Hat pénzdarabot húzunk ki a dobozból visszatevés nélkül. Mindegyik érme húzása egyformán valószínű. Mekkora a valószínűsége, hogy a kihúzott hat pénzdarab együttes értéke legalább $50$ forint?
• 5.23. probléma* (a könyv 226. oldalán): Négy piros, három fehér és két kék golyót találomra egymás mellé téve mi a valószínűsége annak, hogy fehér golyók nem kerülnek egymás mellé? \par\noindent András megoldása. {\rm A golyók összes lehetséges sorrendje: $${{9!}\over{4! 3!2!}}=4\cdot5\cdot7\cdot9=1260.$$ A kedvező eseteket úgy számoljuk össze, hogy először sorbarakjuk a nem fehér golyókat, jelük $o$, ezt ${{6!}/(4!2!)}=15$-féleképpen tehetjük, utána ezek közé, elé, mögé a \hbox{$\oszt$-val} jelölt helyek közül háromra elhelyezzük a három fehér golyót $(\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt)$. $7$ helyre $3$ egyforma golyót $\left(7\atop3\right)=35$-féleképpen helyezhetünk, így a kedvező esetek száma $15\cdot35=3\cdot5^2\cdot7.$ A keresett valószínűség: $${{3\cdot5^2\cdot7}\over{4\cdot5\cdot7\cdot9}}={5\over{3\cdot4}}={5\over{12}}.$$} \par\noindent Béla megoldása. {\rm A vizsgált esemény komplementerének a valószínűségét számoljuk ki, vagyis azt, hogy mekkora eséllyel van két fehér golyó egymás mellett. A két fehér golyót egynek vesszük, így a kedvező esetek száma ${{8!}/(4!\cdot2!)},$ mert $4$ piros, $2$ kék, $1$ dupla fehér, $1$ szimpla fehér golyónk van. Az összes eset most is ${{9!}/(4!\cdot3!\cdot2!)}$, így a keresett valószínűség: $$1-{\displaystyle{{8!}\over{4!\cdot2!}}\over\displaystyle{{9!}\over{4! \cdot3!\cdot2!}}}=1-{{8!\cdot3!}\over{9!}}=1-{2\over3}={1\over3}.$$} \par\noindent Kinek a megoldását fogadjuk el? Miért?