Alakzatok hasonlósága - Háromszögek hasonlósága témakörbe eső problémák:

• 4.13. probléma* (ld. még 4.47; a könyv 135. oldalán): Szerkesszünk adott $ABC$ háromszög $AB$ oldalára merőlegesen olyan egyenest, amely felezi a háromszög területét!
• 4.16. probléma* (ld. még 4.17; a könyv 138. oldalán): $A$ és $B$ két adott pont a síkon. Csak körzővel szerkesszük meg az $AB$ szakasz felezőpontját!
• 4.18. probléma** (a könyv 139. oldalán): Adott a síkon egy körvonal a középpontjával és egy $AB$ szakasz. Egyélű vonalzó segítségével a sík egy adott $P$ pontján át húzzunk $AB$-vel párhuzamos egyenest!
• 4.23. probléma* (a könyv 144. oldalán): Az $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő belső szög nagysága $120^\circ$. A belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszai legyenek $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Mekkora a $C_1A_1B_1\angle$?
• 4.34. probléma* (a könyv 154. oldalán): Milyen összefüggésnek kell fennállni a háromszög $a$, $b$ és $c$ oldala között ahhoz, hogy a háromszöget egyik oldalával párhuzamosan egyetlen egyenessel két egyenlő területű és egyben egyenlő kerületű részre lehessen bontani?
• 4.42. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszögön belül tetszőlegesen felvett $O$ ponton át húzzunk párhuzamosokat a háromszög oldalaival. Ezek az egyenesek a háromszöget hat részre osztják, ezek közül három háromszög. E háromszögekbe írt körök sugarai legyenek $r_1$, $r_2$, $r_3$, az $ABC$ háromszögbe írt kör sugara pedig legyen $r$. Mutassuk meg, hogy $r=r_1+r_2+r_3$!
• 4.43. probléma (a könyv 161. oldalán): Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magassága, amelyek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
• 4.44. probléma (a könyv 161. oldalán): Az $ABC$ háromszög $AC$ oldalának valamely $P$ pontján át húzzunk párhuzamosokat az $AK$ illetve $CL$ súlyvonalakkal. Ezek messék a $BC$ illetve $AB$ oldalt az $E$ illetve $F$ pontban. Mutassuk meg, hogy az $EF$ szakaszt az $AK$ és $CL$ súlyvonalak harmadolják!
• 4.45. probléma* (a könyv 162. oldalán): Egy szabályos tizenkétszög egymás után következő csúcsai $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{12}$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over {{A_1A_2}^2}}+{1 \over {{A_1A_6}^2}}}={4 \over {{A_1A_3}^2}}$$
• 4.46. probléma (a könyv 163. oldalán): Az $A$-ban derékszögű $ABC$ háromszögben $EF$ a $BC$-vel párhuzamos középvonal, $D$ pedig az $A$-ból kiinduló magasság talppontja. \mitem{a)}Bizonyítsuk be, hogy az $EDF$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak! \mitem{b)}Keressünk az átfogón olyan $D$-től különböző $M$ pontot, amelyre nézve az $EMF$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak!\par
• 4.47. probléma (ld. még 4.13; a könyv 163. oldalán): Milyen arányban kell az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogóját két részre osztanunk, ha azt szeretnénk elérni, hogy az osztási pontban az átfogóra emelt merőleges felezze a háromszög területét?
• 4.59. probléma* (ld. még 4.9; a könyv 176. oldalán): Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszainak hossza pedig $x$, $y$, $z$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over x}+{1 \over y}+{1 \over z}}>{{1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$$ teljesül!