Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Háromszögek geometriája - Egyéb háromszögek geometriája témakörbe eső problémák:
- 4.9. probléma* (a könyv 131. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának, és a két oldal által közrefogott belső szögfelező háromszögbe eső szakaszának a hossza! Vizsgáljuk meg a szerkeszthetőség feltételeit!
- 4.28. probléma** (ld. még 4.26, 4.27, 4.53; a könyv 148. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $ABC$ háromszög oldalait a beírt kör a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontokban érinti, az oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai pedig $O_1$, $O_2$, $O_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe mértani közepe a $P_1P_2P_3$ és $O_1O_2O_3$ háromszögek területének!
- 4.32. probléma* (a könyv 151. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy minden hegyesszögű $ABC$ háromszögben $${AM+BM+CM}={2(R+r)},$$ ahol $M$ a háromszög magasságpontja, $r$ a beírt, $R$ pedig a körülírt kör sugara!
- 4.33. probléma* (ld. még 4.32; a könyv 152. oldalán): Jelölje $R$, illetve $r$ a háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, $d_a$, $d_b$, $d_c$ pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól vett távolságait. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor $${{d_a}+{d_b}+{d_c}}={R+r}$$ Hogyan módosul az állítás, ha a háromszög tompaszögű?
- 4.34. probléma* (a könyv 154. oldalán): Milyen összefüggésnek kell fennállni a háromszög $a$, $b$ és $c$ oldala között ahhoz, hogy a háromszöget egyik oldalával párhuzamosan egyetlen egyenessel két egyenlő területű és egyben egyenlő kerületű részre lehessen bontani?
- 4.37. probléma* (ld. még 4.35, 4.36; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$. Fejezzük ki a háromszög területét $x$, $y$ és $z$ segítségével!
- 4.39. probléma (a könyv 157. oldalán): A hegyesszögű $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő szög $60^\circ$-os. A háromszög $B$-ből induló magasságának talppontja $D$, a $C$-ből induló magasság talppontja pedig $E$. Jelölje $M$ a háromszög magasságpontját, $O$ pedig a körülírt kör középpontját. Mutassuk meg, hogy az $OM$ egyenes felezi a $BME$ szöget!
- 4.42. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszögön belül tetszőlegesen felvett $O$ ponton át húzzunk párhuzamosokat a háromszög oldalaival. Ezek az egyenesek a háromszöget hat részre osztják, ezek közül három háromszög. E háromszögekbe írt körök sugarai legyenek $r_1$, $r_2$, $r_3$, az $ABC$ háromszögbe írt kör sugara pedig legyen $r$. Mutassuk meg, hogy $r=r_1+r_2+r_3$!
- 4.51. probléma** (ld. még 4.50, 4.52; a könyv 166. oldalán): Adott háromszögbe szerkesszünk három olyan kört, amelyek mindegyike érinti a háromszög két oldalát és a másik két kört! {\rm (Malfatti-körök szerkesztésének problémája)}
- 4.52. probléma** (ld. még 4.51; a könyv 169. oldalán): Az $ABC$ háromszögbe írjunk be egy $k_1$ kört úgy, hogy érintse a $BC$ és $CA$ oldalakat, sugara pedig kisebb legyen a háromszög beírt körének sugaránál, de nagyobb legyen a beírt kört, valamint a $BC$ és $CA$ oldalakat belső pontban érintő kör sugaránál. Ezután vegyük fel a $k_2$ kört úgy, hogy kívülről érintse a $k_1$ kört, valamint érintse az $AB$ és $CA$ oldalakat. A $k_3$ kör érintse kívülről a $k_2$ kört, valamint az $AB$ és $BC$ oldalakat. Az eljárást folytatva köröknek olyan sorozatát kapjuk, amelyek kívülről érintik az előző kört, valamint a háromszög két oldalát. Mutassuk meg, hogy a $k_7$ kör azonos a $k_1$ körrel!
- 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
- 4.57. probléma** (ld. még 4.58; a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$S={{{(a+b+c)}^2} \over {bc}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$ és $K_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén ${K_1}\leq S \leq {K_2}$?
- 4.58. probléma** (ld. még 4.57; a könyv 175. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$T={{(a+b+c)^2} \over {ca}} \quad \hbox{ illetve } \quad U={{(a+b+c)^2} \over {ab}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$, $K_2$, illetve $M_1$, $M_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén teljesüljenek a $${K_1} \leq T \leq {K_2} \quad \hbox{ illetve } \quad {M_1} \leq U \leq {M_2}$$ egyenlőtlenségek?
- 4.59. probléma* (ld. még 4.9; a könyv 176. oldalán): Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszainak hossza pedig $x$, $y$, $z$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over x}+{1 \over y}+{1 \over z}}>{{1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$$ teljesül!
- 4.61. probléma* (ld. még 4.60; a könyv 178. oldalán): Adott háromszögbe írjunk be legkisebb kerületű háromszöget!
- 4.63. probléma* (a könyv 182. oldalán): \mitem{a)} Adott hegyesszögű háromszögben van-e olyan pont, amelynek a háromszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális? \mitem{b)} Konvex négyszög síkjában van-e olyan pont, amelynek a négyszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális?\par
- 4.65. probléma (a könyv 184. oldalán): Egy $C$ csúcsú konvex szögtartomány adott $P$ belső pontján átmenő egyenesek közül melyik vágja le a legkisebb területű háromszöget a szögtartományból?
- 4.66. probléma* (a könyv 185. oldalán): Az $a$ élhosszúságú szabályos tetraédernek különböző síkokra vett merőleges vetületei közül válasszuk ki azt, amelynek a területe a legnagyobb!
- 4.67. probléma* (a könyv 185. oldalán): Adott a térben az $ABC$ és az $A_1B_1C_1$ háromszög. Tekintsük az összes olyan $MM_1$ távolságot, ahol $M$ az $ABC$, $M_1$ pedig az $A_1B_1C_1$ zárt háromszöglap valamely pontja. Bizonyítsuk be, hogy az összes $MM_1$ távolságok közül a legnagyobb megegyezik az $AA_1$, $AB_1$, $AC_1$, $BA_1$, $BB_1$, $BC_1$, $CA_1$, $CB_1$, $CC_1$ távolságok közül a legnagyobbal!
- 4.72. probléma* (a könyv 188. oldalán): A síkban elhelyeztünk $4$-nél nem kevesebb pontot úgy, hogy bármely három pont által meghatározott háromszög területe $1$-nél kisebb. Mutassuk meg, hogy van olyan $4$-nél kisebb területű háromszög, amely az összes pontot lefedi!
- 5.20. probléma (a könyv 225. oldalán): Egy zsákban rudak vannak, amelyek $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ egység hosszúak. Véletlenszerűen kihúzunk három rudat. Mi a valószínűsége annak, hogy ezekből háromszöget lehet összerakni?
- 5.42. probléma* (ld. még 5.43, 5.44; a könyv 238. oldalán): Véletlenszerűen rajzolva egy háromszöget, mi a valószínűsége, hogy a háromszög tompaszögű?
- 5.43. probléma* (ld. még 5.42, 5.44; a könyv 242. oldalán): Mi a valószínűsége, hogy $x$, $y$ két pozitív $1$-nél kisebb szám az $1$-gyel együtt egy tompaszögű háromszög oldalai?