Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Háromszögek geometriája - Derékszögű háromszögek geometriája témakörbe eső problémák:
- 4.4. probléma (a könyv 127. oldalán): Adott egy síkban egy $e$ egyenes. Az $e$-t adott $A$ és $B$ pontjában érinti két egymást is érintő, az adott síkban fekvő kör. Változtassuk az érintő körök sugarát. Határozzuk meg a körök érintési pontjainak halmazát!
- 4.19. probléma (a könyv 142. oldalán): Egy adott derékszögű háromszög egyik befogójára emelt kör az átfogót $1:3$ arányban osztja. Megállapítható-e ebből az adatból a derékszögű háromszög további két szöge?
- 4.20. probléma (a könyv 142. oldalán): Az $ABC$ háromszög magasságvonalai az $M$ pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy $MC=AB$. Határozzuk meg a háromszög $C$ csúcsánál levő belső szöget!
- 4.21. probléma (ld. még 4.20; a könyv 142. oldalán): Határozzuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szögét, ha $C$-nek és a háromszög magasságpontjának a távolsága a körülírt kör sugarával egyenlő!
- 4.22. probléma (a könyv 143. oldalán): Állapítsuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöget, ha az $A$ pont a háromszöghöz hozzáírt, az $AB$ és a $BC$ oldalt érintő körök középpontjaitól egyenlő távolságra van!
- 4.24. probléma (a könyv 145. oldalán): Érintse az $ABC$ derékszögű háromszögbe írt kör az $AB$ átfogót a $D$ pontban. Igazoljuk, hogy a háromszög területe megegyezik annak a téglalapnak a területével, amelynek oldalai $AD$ és $BD$!
- 4.27. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 147. oldalán): Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
- 4.30. probléma (a könyv 150. oldalán): Az $ABC$ derékszögű háromszögben olyan $r$ sugarú félkört szerkesztünk, amelynek középpontja az $AB$ átfogón van, és érinti az $a$ és $b$ befogókat. Bizonyítsuk be, hogy $${1 \over r}={{1 \over a}+{1 \over b}}$$
- 4.31. probléma (a könyv 150. oldalán): Adott derékszögű háromszög befogói fölé rajzoljunk kifelé négyzeteket. Mutassuk meg, hogy a háromszög köré írható kör átmegy a négyzetek legtávolabbi csúcsait összekötő szakasz felezőpontján!
- 4.36. probléma* (ld. még 4.35, 4.37; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=3$, $PB=4$, $PC=5$. Mekkora a háromszög oldala?
- 4.41. probléma (a könyv 159. oldalán): Tudjuk, hogy egy háromszögben az egyik csúcsból induló súlyvonal, belső szögfelező és magasságvonal a szöget négy egyenlő részre osztja. Mekkorák a háromszög szögei?
- 4.43. probléma (a könyv 161. oldalán): Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magassága, amelyek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
- 4.46. probléma (a könyv 163. oldalán): Az $A$-ban derékszögű $ABC$ háromszögben $EF$ a $BC$-vel párhuzamos középvonal, $D$ pedig az $A$-ból kiinduló magasság talppontja. \mitem{a)}Bizonyítsuk be, hogy az $EDF$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak! \mitem{b)}Keressünk az átfogón olyan $D$-től különböző $M$ pontot, amelyre nézve az $EMF$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak!\par
- 4.47. probléma (ld. még 4.13; a könyv 163. oldalán): Milyen arányban kell az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogóját két részre osztanunk, ha azt szeretnénk elérni, hogy az osztási pontban az átfogóra emelt merőleges felezze a háromszög területét?
- 4.55. probléma (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Igazoljuk, hogy derékszögű háromszögben a hegyesszögek csúcsaiból kiinduló súlyvonalak négyzete összegének és a háromszögbe írt kör sugara négyzetének hányadosa nem kisebb $20$-nál!
- 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$
- 4.87. probléma* (ld. még 4.88; a könyv 203. oldalán): Adott a síkon háromnál több, de véges sok pont úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy egyenesre. Lehet-e minden esetben olyan kört találni, amely legalább három adott ponton átmegy, és amelynek belsejében egy sincs az adott pontok közül?