Háromszög nevezetes körei - Hozzáírt körök témakörbe eső problémák:

• 4.8. probléma* (a könyv 130. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott a háromszög kerülete $(a+b+c)$, továbbá az $a$ és $b$ oldalakhoz hozzáírt körök $r_a$ és $r_b$ sugara!
• 4.22. probléma (a könyv 143. oldalán): Állapítsuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöget, ha az $A$ pont a háromszöghöz hozzáírt, az $AB$ és a $BC$ oldalt érintő körök középpontjaitól egyenlő távolságra van!
• 4.25. probléma (a könyv 145. oldalán): Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt köreinek középpontján átmenő kör sugara kétszerese a háromszög köré írt kör sugarának!
• 4.26. probléma (ld. még 4.27; a könyv 146. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög beírt körének sugara $r$, hozzáírt köreinek sugarai $r_a$, $r_b$, $r_c$, akkor $${1 \over r}={{1 \over r_a}+{1 \over r_b}+{1 \over r_c}}$$
• 4.27. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 147. oldalán): Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
• 4.29. probléma (ld. még 4.26, 4.27; a könyv 150. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a háromszög bármelyik magassága egyenlő a közrefogó oldalakhoz hozzáírt körök sugarának harmónikus közepével!
• 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}