Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Háromszög nevezetes egyenesei - Szögfelező egyenes témakörbe eső problémák:
- 4.9. probléma* (a könyv 131. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának, és a két oldal által közrefogott belső szögfelező háromszögbe eső szakaszának a hossza! Vizsgáljuk meg a szerkeszthetőség feltételeit!
- 4.10. probléma* (a könyv 132. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik csúcsa, az ebből kiinduló belső szögfelezőnek a szemközti oldallal vett metszéspontja, valamint a háromszög magasságpontja!
- 4.22. probléma (a könyv 143. oldalán): Állapítsuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöget, ha az $A$ pont a háromszöghöz hozzáírt, az $AB$ és a $BC$ oldalt érintő körök középpontjaitól egyenlő távolságra van!
- 4.23. probléma* (a könyv 144. oldalán): Az $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő belső szög nagysága $120^\circ$. A belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszai legyenek $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Mekkora a $C_1A_1B_1\angle$?
- 4.25. probléma (a könyv 145. oldalán): Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt köreinek középpontján átmenő kör sugara kétszerese a háromszög köré írt kör sugarának!
- 4.28. probléma** (ld. még 4.26, 4.27, 4.53; a könyv 148. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $ABC$ háromszög oldalait a beírt kör a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontokban érinti, az oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai pedig $O_1$, $O_2$, $O_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe mértani közepe a $P_1P_2P_3$ és $O_1O_2O_3$ háromszögek területének!
- 4.38. probléma (a könyv 157. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög magasságpontja és köré írt körének középpontja a háromszög egyik belső szögfelezőjére nézve szimmetrikusan helyezkedik el, akkor a háromszög egyik szöge $60^\circ$-os!
- 4.41. probléma (a könyv 159. oldalán): Tudjuk, hogy egy háromszögben az egyik csúcsból induló súlyvonal, belső szögfelező és magasságvonal a szöget négy egyenlő részre osztja. Mekkorák a háromszög szögei?
- 4.49. probléma* (a könyv 164. oldalán): Az $ABCD$ húrnégyszögben fennáll az $AB+CD=BC$ egyenlőség. Igazoljuk, hogy az $A$, illetve a $D$ pontból húzott belső szögfelezők metszéspontja a $BC$ szakaszra esik!
- 4.59. probléma* (ld. még 4.9; a könyv 176. oldalán): Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszainak hossza pedig $x$, $y$, $z$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over x}+{1 \over y}+{1 \over z}}>{{1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$$ teljesül!