Háromszög nevezetes egyenesei - Magasságvonal témakörbe eső problémák:

• 4.11. probléma* (a könyv 133. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük egyik csúcsának a távolságát a magasságponttól, a súlyponttól és a körülírt kör középpontjától!
• 4.12. probléma* (a könyv 134. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adva van egy oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a hossza, valamint tudjuk, hogy az adott oldalon fekvő két belső szög közül az egyik kétszer akkora, mint a másik!
• 4.20. probléma (a könyv 142. oldalán): Az $ABC$ háromszög magasságvonalai az $M$ pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy $MC=AB$. Határozzuk meg a háromszög $C$ csúcsánál levő belső szöget!
• 4.21. probléma (ld. még 4.20; a könyv 142. oldalán): Határozzuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szögét, ha $C$-nek és a háromszög magasságpontjának a távolsága a körülírt kör sugarával egyenlő!
• 4.25. probléma (a könyv 145. oldalán): Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt köreinek középpontján átmenő kör sugara kétszerese a háromszög köré írt kör sugarának!
• 4.29. probléma (ld. még 4.26, 4.27; a könyv 150. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a háromszög bármelyik magassága egyenlő a közrefogó oldalakhoz hozzáírt körök sugarának harmónikus közepével!
• 4.41. probléma (a könyv 159. oldalán): Tudjuk, hogy egy háromszögben az egyik csúcsból induló súlyvonal, belső szögfelező és magasságvonal a szöget négy egyenlő részre osztja. Mekkorák a háromszög szögei?
• 4.43. probléma (a könyv 161. oldalán): Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magassága, amelyek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
• 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
• 4.61. probléma* (ld. még 4.60; a könyv 178. oldalán): Adott háromszögbe írjunk be legkisebb kerületű háromszöget!
• 5.44. probléma* (ld. még 5.43, 5.42; a könyv 243. oldalán): Egy $P$ pontot véletlenszerűen választunk egy egyenlő oldalú háromszögben. $P$-ből merőlegest bocsátunk az oldalakra, melyek talppontjai $X$, $Y$, $Z$ $($\aref{pk27}.\ ábra$)$. Mi a valószínűsége, hogy a $PX$, $PY$, $PZ$ szakaszok háromszöget határoznak meg?