Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Háromszög nevezetes egyenesei - Középvonal témakörbe eső problémák:
- 4.33. probléma* (ld. még 4.32; a könyv 152. oldalán): Jelölje $R$, illetve $r$ a háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, $d_a$, $d_b$, $d_c$ pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól vett távolságait. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor $${{d_a}+{d_b}+{d_c}}={R+r}$$ Hogyan módosul az állítás, ha a háromszög tompaszögű?
- 4.40. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszög $AD$ súlyvonalának felezőpontja $F$. A $CF$ egyenes az $AB$ oldalt az $M$ pontban metszi. Határozzuk meg az $AM:MB$ arányt!
- 4.46. probléma (a könyv 163. oldalán): Az $A$-ban derékszögű $ABC$ háromszögben $EF$ a $BC$-vel párhuzamos középvonal, $D$ pedig az $A$-ból kiinduló magasság talppontja. \mitem{a)}Bizonyítsuk be, hogy az $EDF$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak! \mitem{b)}Keressünk az átfogón olyan $D$-től különböző $M$ pontot, amelyre nézve az $EMF$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak!\par