Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Halmazelmélet - Részhalmazok témakörbe eső problémák:
- 3.23. probléma** (a könyv 118. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $x_1,x_2,\ldots,x_k$; $y_1,y_2,\ldots,y_k$ olyan pozitív számok, hogy minden $r=1,2,\ldots,k$ esetén $$0<x_1y_1<x_2y_2 <\ldots<x_ky_k\quad\hbox{és}\quad x_1+x_2+\cdots+x_r\geq y_1+y_2+\cdots+y_r,$$ akkor $${1\over {x_1}}+{1\over{x_2}}+\cdots+{1\over{x_k}}\leq{1\over{y_1}}+{1\over{y_2}}+\cdots +{1\over{y_k}}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha minden $1\leq r\leq k$ esetén $x_r=y_r.$ \mitem{b)} Ha $a_1<a_2<\ldots<a_k$ olyan pozitív egész számok, hogy ha a belőlük alkotott $2^k$ részhalmaz mindegyikéhez tekintjük a benne levő elemek összegét, és azt tapasztaljuk, hogy az így kapott számok páronként különbözőek, akkor $${1\over{a_1}}+{1\over{a_2}}+\cdots+{1\over{a_k}}<2.$$