Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Függvények - Trigonometrikus függvények témakörbe eső problémák:
- 2.89. probléma (a könyv 78. oldalán): Határozzuk meg az $${1\over{\sin 2x}}+{1\over{\sin 2^2x}}+\cdots+{1\over {\sin 2^nx}}$$ összeget, ha $x$ olyan, hogy $2^kx$ nem lesz a $\pi$ egész számú többszöröse, ha $1\leq k\leq n.$
- 3.15. probléma* (a könyv 110. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalai $a,b,c,$ a területe pedig $t$, akkor $$a^2+b^2+c^2\geq 4t\sqrt3.$$
- 3.30. probléma** (a könyv 125. oldalán): Melyik nagyobb: a $\cos(\sin\,x),$ vagy a $\sin(\cos\,x)?$
- 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
- 6.6. probléma* (ld. még 6.2; a könyv 255. oldalán): Van-e olyan $k$ és $K$ szám, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $k\leq n\sin n\leq K?$
- 6.11. probléma (a könyv 262. oldalán): Mutassuk meg, hogy tetszőleges $x\in \rr$, $n\in \nn^+$ esetén $$\sin x= 2^n\sin {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^{n-1}}}\cdots \cos {x\over2}.$$
- 6.15. probléma** (ld. még 6.14; a könyv 266. oldalán): Legyen adott az $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=\sin x+\sin (x\sqrt2)$ függvény. Az világos, hogy minden $x$ esetén $$-2<f(x)<2.$$ Javítható-e ez a becslés?