Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Függvények - Másodfokú függvények témakörbe eső problémák:
- 2.93. probléma** (a könyv 84. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $|x|\leq1$ esetén $|ax^2+bx+c|\leq1$, akkor ugyanitt $|cx^2-bx+a|\leq 4$ érvényes. \mitem{b)} Legyen $F(x)=ax^2+bx+c$, $G(x)=cx^2+bx+a,$ tegyük fel továbbá, hogy $|F(0)|\leq1$, $|F(1)|\leq1$, $|F(-1)|\leq1.$ Mutassuk meg, hogy ekkor $|x|\leq1$ esetén $$|F(x)|\leq{5\over4},\quad |G(x)| \leq2.$$
- 6.14. probléma (ld. még 6.15, 6.18, 6.20; a könyv 265. oldalán): Legyen $1<x_1<2,$ és minden $n\in \nn^+$ esetén $x_{n+1}=1+x_n- x_n^2/2.$ Bizonyítsuk be, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3$, akkor $$|x_n-\sqrt2|<{1\over{2^n}}.$$
- 6.27. probléma* (a könyv 281. oldalán): \mitem{a)} Keressük meg az összes olyan $f\colon\nn\rightarrow \nn$ függvényt, amelyre $f(1)=1,$ és minden $x,y\in \nn$ esetén $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{b)} Ha $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=ax^2+bx+c$, akkor milyen $a,b,c\in \rr$ esetén teljesül minden $x,y\in \rr$-re $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{c)} Melyek azok a differenciálható $f\colon\rr\rightarrow \rr$ függvények, amelyek esetén $f(1)=1$ és minden $x,y\in \rr$-re $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{d)} Tegyük fel, hogy $f\colon\rr\rightarrow \rr,$ az $f$ függvény folytonos a $0$ pontban, és minden $x,y\in \rr$ esetén $f(x+y)=f(x)+ f(y)+xy.$ Mi lehet az $f$ függvény?\par