Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Egyenlőtlenségek - Geometriai egyenlőtlenségek témakörbe eső problémák:
- 3.15. probléma* (a könyv 110. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalai $a,b,c,$ a területe pedig $t$, akkor $$a^2+b^2+c^2\geq 4t\sqrt3.$$
- 4.9. probléma* (a könyv 131. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának, és a két oldal által közrefogott belső szögfelező háromszögbe eső szakaszának a hossza! Vizsgáljuk meg a szerkeszthetőség feltételeit!
- 4.43. probléma (a könyv 161. oldalán): Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magassága, amelyek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
- 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
- 4.54. probléma* (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét pedig $t$. Igazoljuk, hogy $$t \leq {{\sqrt{3}} \over 4} \cdot {{\left({{a+b+c} \over 3}\right)}^2}$$
- 4.55. probléma (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Igazoljuk, hogy derékszögű háromszögben a hegyesszögek csúcsaiból kiinduló súlyvonalak négyzete összegének és a háromszögbe írt kör sugara négyzetének hányadosa nem kisebb $20$-nál!
- 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$
- 4.57. probléma** (ld. még 4.58; a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$S={{{(a+b+c)}^2} \over {bc}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$ és $K_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén ${K_1}\leq S \leq {K_2}$?
- 4.58. probléma** (ld. még 4.57; a könyv 175. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$T={{(a+b+c)^2} \over {ca}} \quad \hbox{ illetve } \quad U={{(a+b+c)^2} \over {ab}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$, $K_2$, illetve $M_1$, $M_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén teljesüljenek a $${K_1} \leq T \leq {K_2} \quad \hbox{ illetve } \quad {M_1} \leq U \leq {M_2}$$ egyenlőtlenségek?
- 4.59. probléma* (ld. még 4.9; a könyv 176. oldalán): Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszainak hossza pedig $x$, $y$, $z$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over x}+{1 \over y}+{1 \over z}}>{{1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$$ teljesül!
- 4.60. probléma (a könyv 177. oldalán): Egy szög szárai között adott két pont. Szerkesszük meg azt a legrövidebb utat, amelyik az egyik pontból az egyik szögszárhoz, onnan a másik szögszárhoz, onnan pedig a másik ponthoz vezet!
- 4.61. probléma* (ld. még 4.60; a könyv 178. oldalán): Adott háromszögbe írjunk be legkisebb kerületű háromszöget!
- 4.62. probléma** (ld. még 4.61; a könyv 179. oldalán): Adott $ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontja legyen $X$. Bocsássunk $X$-ből merőlegeseket a négyszög oldalaira, ezek talppontjai az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalon legyenek rendre $P$, $Q$, $R$, $S$. Igazoljuk, hogy az $ABCD$ négyszögbe írható összes négyszöget tekintve, a $PQRS$ négyszögnél nincs kisebb kerületű beírt négyszög!
- 4.63. probléma* (a könyv 182. oldalán): \mitem{a)} Adott hegyesszögű háromszögben van-e olyan pont, amelynek a háromszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális? \mitem{b)} Konvex négyszög síkjában van-e olyan pont, amelynek a négyszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális?\par
- 4.64. probléma* (a könyv 183. oldalán): Adott egy kör, és ennek egyik átmérőjén a középponttól egyenlő távolságra az $A$ és a $B$ pontok. $A$-ból egyenes úton elmegyünk a körig, onnan pedig $B$-be. Melyik a legrövidebb, és melyik a leghosszabb út?
- 4.65. probléma (a könyv 184. oldalán): Egy $C$ csúcsú konvex szögtartomány adott $P$ belső pontján átmenő egyenesek közül melyik vágja le a legkisebb területű háromszöget a szögtartományból?
- 4.66. probléma* (a könyv 185. oldalán): Az $a$ élhosszúságú szabályos tetraédernek különböző síkokra vett merőleges vetületei közül válasszuk ki azt, amelynek a területe a legnagyobb!
- 4.67. probléma* (a könyv 185. oldalán): Adott a térben az $ABC$ és az $A_1B_1C_1$ háromszög. Tekintsük az összes olyan $MM_1$ távolságot, ahol $M$ az $ABC$, $M_1$ pedig az $A_1B_1C_1$ zárt háromszöglap valamely pontja. Bizonyítsuk be, hogy az összes $MM_1$ távolságok közül a legnagyobb megegyezik az $AA_1$, $AB_1$, $AC_1$, $BA_1$, $BB_1$, $BC_1$, $CA_1$, $CB_1$, $CC_1$ távolságok közül a legnagyobbal!
- 4.68. probléma* (a könyv 186. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy egy tetraéder bármely három magasságának szorzata nem nagyobb a tetraéder térfogatának hatszorosánál! Mikor teljesül egyenlőség?
- 4.69. probléma* (a könyv 187. oldalán): Az egységnyi élű kocka felületén halad egy zárt töröttvonal úgy, hogy ennek a kocka minden lapján van szakasza. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal hossza nem kisebb $3{\sqrt{2}}$-nél!
- 4.89. probléma** (ld. még 4.88; a könyv 206. oldalán): Adott a síkban $2n$ pont úgy, hogy nincs közöttük három, amelyek egy egyenesre illeszkednek. Bizonyítsuk be, hogy azon egyenesek száma, amelyek pontosan két adott pontra illeszkednek és felezik az adott ponthalmazt $($az általuk meghatározott mindkét félsíkban pontosan $n-1$ adott pont van$)$ legfeljebb $2n\sqrt{2n}$!