Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
Egyenlőtlenségek - Egyéb egyenlőtlenségek témakörbe eső problémák:
- 3.1. probléma** (ld. még 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 91. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy $${1\over{15}}<{1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots{{99}\over{100}}<{1\over{10}}.$$ \mitem{b)} Általánosítsuk a feladatot. \par
- 3.2. probléma** (ld. még 3.1; a könyv 94. oldalán): Igaz-e, hogy ha van egy olyan halmazunk, amelyik végtelen sok $1$-nél kisebb pozitív számból áll, akkor, ha ebből a halmazból \idez{sok} számot kiválasztunk és ezeket összeszorozzuk, akkor a szorzat \idez{közel} lesz-e a nullához? Ez a kérdés így pontatlan. Mit jelent az, hogy \idez{sok} számot összeszorzunk? Melyik sokat szorozzuk, stb? Fogalmazzunk pontosabban: Létezik-e olyan $\{a_n\}$ $1$-nél kisebb pozitív számokból álló sorozat, amelyikhez van olyan $c>0$ szám, hogy a $b_n= a_1a_2\cdots a_n$ szorzat minden $n\in \nn^+$ esetén $c$-nél nagyobb legyen?
- 3.3. probléma* (ld. még 3.1, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 95. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, és $n>1,$ akkor $${1\over{n+1}}+ {1\over{n+2}}+\cdots+{1\over{2n}}>{{13}\over{24}}.$$
- 3.4. probléma* (ld. még 3.1, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7, 3.18, 3.21; a könyv 95. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$ és $n>1$, akkor $${n\over2}<a_n=1+ {1\over2}+ {1\over3}+\cdots+{1\over{2^n-1}}<n.$$
- 3.5. probléma (ld. még 3.4, 3.6, 3.7; a könyv 96. oldalán): Rögzítsünk egy tetszőleges $K$ számot. Mutassuk meg, hogy van olyan $n\in \nn^+,$ hogy $$1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots+{1\over n}>K.$$
- 3.6. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 96. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+,$ akkor $$1+{1\over{2^2}}+{1\over{3^2}}+\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$
- 3.7. probléma* (ld. még 3.4, 3.5, 3.6; a könyv 97. oldalán): Legyen $n$ rögzített pozitív egész szám $($az érdekes az, ha \idez{nagy} számra gondolunk$)$. Az $$1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots+{1\over n}$$ összegből hagyjunk el minden olyan ${1/ k}$ tagot, amelyikben a $k$ tizes számrendszerben való felírásában a $9$-es számjegy szerepel. Mutassuk meg, hogy a megmaradó tagok összege, bármilyen nagy szám volt is az $n$, $80$-nál kisebb.
- 3.8. probléma (ld. még 3.9; a könyv 98. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\,b,\,c\in \rr^+,$ akkor $$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca.$$ Általánosítsuk a feladatot! \mitem{b)} Igazoljuk, hogy ha $a,\,b,\,c\in \rr^+,$ akkor $$3(a^2+b^2+c^2) \geq(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca).$$
- 3.10. probléma* (ld. még 3.9; a könyv 104. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ pozitív számok, akkor $$a+b+c\leq {{a^2+b^2}\over{2c}}+{{b^2+c^2}\over{2a}}+{{c^2+a^2}\over{2b}}\leq{{a^3} \over{bc}}+{{b^3}\over{ca}}+{{c^3}\over{ab}}.$$
- 3.13. probléma** (a könyv 107. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív számok, akkor $${{a^3+b^3+c^3}\over{a+b+c}}+{{b^3+c^3+d^3}\over{b+c+d}}+{{c^3+d^3+ a^3}\over{c+d+a}}+{{d^3+a^3+b^3}\over{d+a+b}}\geq a^2+b^2+c^2+d^2.$$
- 3.14. probléma* (a könyv 108. oldalán): Keressünk olyan $k$ és $K$ számot, hogy ha $a$ és $b$ pozitív számok, $a+b=1,$ akkor $$k\leq \left(1+{1\over a}\right)\left(1+{1\over b}\right)\leq K.$$
- 3.16. probléma* (a könyv 112. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $x_1,\,x_2,\ldots,x_n$ pozitív számok, $x_1+ x_2+\cdots+x_n=s,$ akkor $$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq1+s+{{s^2}\over{2!}} +{{s^3}\over{3!}}+\cdots+{{s^n}\over{n!}}.$$
- 3.17. probléma (a könyv 112. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy $$\log_2\,3+\log_3\,4+\log_4\,5+\log_5\,6>5.$$
- 3.18. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.21; a könyv 113. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a>b>0,$ akkor $n\in \nn^+$ esetén $$a^n(a-(n+1) (a-b))<b^{n+1}.$$
- 3.19. probléma* (ld. még 3.12, 3.11; a könyv 113. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n <\left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$ \mitem{b)} Van-e olyan $k$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n<k?$$
- 3.20. probléma** (a könyv 116. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ pozitív számok, ahol $n\in \nn^+$, \hbox{$n\geq3$,} $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, $a_{n+3}=a_3,$, akkor $$S={{a_1}\over{a_2+a_3}}+{{a_2}\over{a_3+a_4}}+\cdots+{{a_n}\over{a_1+a_2}} >{n\over4}.$$
- 3.21. probléma* (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 117. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ pozitív számok, akkor $${1\over {a^3+b^3+abc}}+{1\over{b^3+c^3+abc}}+{1\over{c^3+a^3+abc}}\leq{1\over {abc}}.$$
- 3.22. probléma** (a könyv 118. oldalán): Jelölje $\pi(x)$ az $x$-nél nem nagyobb prímszámok számát. Mutassuk meg, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$\pi(n)\geq{{\lg\,n}\over {\lg\,4}}.$$
- 3.23. probléma** (a könyv 118. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $x_1,x_2,\ldots,x_k$; $y_1,y_2,\ldots,y_k$ olyan pozitív számok, hogy minden $r=1,2,\ldots,k$ esetén $$0<x_1y_1<x_2y_2 <\ldots<x_ky_k\quad\hbox{és}\quad x_1+x_2+\cdots+x_r\geq y_1+y_2+\cdots+y_r,$$ akkor $${1\over {x_1}}+{1\over{x_2}}+\cdots+{1\over{x_k}}\leq{1\over{y_1}}+{1\over{y_2}}+\cdots +{1\over{y_k}}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha minden $1\leq r\leq k$ esetén $x_r=y_r.$ \mitem{b)} Ha $a_1<a_2<\ldots<a_k$ olyan pozitív egész számok, hogy ha a belőlük alkotott $2^k$ részhalmaz mindegyikéhez tekintjük a benne levő elemek összegét, és azt tapasztaljuk, hogy az így kapott számok páronként különbözőek, akkor $${1\over{a_1}}+{1\over{a_2}}+\cdots+{1\over{a_k}}<2.$$
- 3.24. probléma* (a könyv 119. oldalán): A síkban a $P_1(x_1,y_1),\>P_2(x_2,y_2)$ pontok távolságát a $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ formula szolgáltatja. Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség:$$ d(P_1,P_2)\leq d(P_1,P_3)+d(P_3,P_2),$$ azaz $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- y_2)^2}\leq\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}.$$ Vezessük be az $x_1-x_3=a_1$, $x_3-x_2=a_2$, $y_1-y_3=b_1$, $y_3-y_2=b_2$ jelöléseket. Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség így írható:$$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} \leq\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:$$a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)\leq a_1^2+a_2^2+b_1^2+ b_2^2+2\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ azaz $$a_1a_2+b_1b_2\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A síkot, illetve a teret $2$-, illetve $3$-dimenziós térnek nevezve, az $n$-dimenziós teret értelmezhetjük úgy, mint az $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ szám n-esek halmazát. Két pont $P(x_1,\ldots,x_n)$, $Q(y_1,\ldots, y_n)$ távolságát most így definiáljuk: $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1- y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$ Leolvasható, hogy $d(P,Q)\geq0,$ $d(P,Q)$ akkor és csak akkor $0$, ha $P=Q,$ továbbá $d(P,Q)=d(Q,P)$. Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontok esetén $$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q)?$$ Más módon írva ugyanez az egyenlőtlenség:$$\eqalign{&\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\cr&\qquad\leq\sqrt{(x_1- z_1)^2+\cdots+(x_n-z_n)^2}+\sqrt{(z_1-y_1)^2+\cdots+(z_n-y_n)^2}.\cr}$$ Vezessük be az $x_i-z_i=a_i$, $z_i-y_i=b_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ jelöléseket. E jelölésekkel a kérdés így hangzik: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:$$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2} \leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}?$$ Négyzetre emelve és egyszerűsítve: $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítsuk be!
- 3.25. probléma (ld. még 3.9; a könyv 121. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr$, $i=1,2,\ldots,n$; $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq{1\over n}.$$
- 3.27. probléma (a könyv 122. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\>b\in \rr^+$, $a+b=1,$ akkor $$\left(a+ {1\over a}\right)^2+\left(b+{1\over b}\right)^2\geq{{25}\over2}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a,\>b, \>c,\in \rr^+$, $a+b+c=1,$ akkor $$\left(a+{1\over a}\right)^2+\left(b+ {1\over b}\right)^2+\left(c+{1\over c}\right)^2\geq K.$$ \mitem{c)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a_1,a_2, \ldots,a_n\in \rr^+$, $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$\left(a_1+ {1\over a_1}\right)^2+\left(a_2+{1\over a_2}\right)^2+\cdots+\left(a_n+ {1\over{a_n}} \right)^2\geq K.$$ Keressük meg $K$ lehetséges legnagyobb értékét.\par
- 3.28. probléma (a könyv 123. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív egész számok, $a+b+c+d=30,$ akkor mivel egyenlő az $abcd$ szorzat maximuma?
- 3.29. probléma* (a könyv 124. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_7$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq {{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq{1\over{\sqrt3}}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{13}$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq 2-\sqrt3.$$ \mitem{c)} Legyenek adva az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ valós számok, $n\geq4.$ Van-e olyan $K_n$ szám, hogy az adott számok között létezzék két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+ a_ia_j}}\leq K_n.$$
- 3.30. probléma** (a könyv 125. oldalán): Melyik nagyobb: a $\cos(\sin\,x),$ vagy a $\sin(\cos\,x)?$
- 6.2. probléma* (ld. még 6.1, 6.3; a könyv 251. oldalán): Van-e olyan $K$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over2}+ \cdots+{1\over n}<K?$$
- 6.3. probléma** (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 252. oldalán): Az előző példa után természetes módon merül fel az a kérdés, hogy ha $a$ pozitív szám, akkor létezik-e $K$ szám úgy, hogy az $$1+{1\over{2^a}}+{1\over{3^a}}+\cdots+{1\over {n^a}}$$ összeg minden $n\in \nn^+$ esetén $K$ alatt marad? Ha $a>2,$ akkor mint azt az egyenlőtlenségekről szóló fejezetben láttuk, minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}\leq1+{1\over{2^2}} +\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$ Ha $0<a<1,$ akkor minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}>1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}.$$ Az előbbi példát felhasználva ez azt jelenti, hogy ilyen $a$-k esetén nincs alkalmas $K$. Az a kérdés maradt, hogy korlátos-e az $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}$$ összeg, ha $1<a<2$?
- 6.4. probléma** (ld. még 6.2; a könyv 253. oldalán): Jelöljük $d(n)$-nel az $n$ pozitív egész szám osztóinak a számát. Néhány speciális eset: $d(1)=1$, $d(2)=2$, $d(3)=2$, $d(4)=3$, $d(6)=4$, $d(12)=6$. Ha $p$ prímszám, akkor $d(p)=2,$ ha $n=2^k,$ ahol $k\in \nn^+,$ akkor $d(n)=k+1.$ Ebből az is leolvasható, hogy tetszőlegesen megadva $M$ számot, van olyan $n$ egész szám, hogy $d(n)>M.$ Amint az eddigi példák is mutatják a $d(n)$ számok \idez{elég szabálytalanul} ingadoznak. A kérdés ezek után az, hogy vajon az átlagról tudnánk-e valami jellegzeteset mondani? Tudnánk-e becslést adni a $${{d(1)+d(2)+\cdots+d(n)}\over n}$$ számtani középre?