Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
A háromszögek nevezetes pontjai - Beírt kör középpontja témakörbe eső problémák:
- 4.24. probléma (a könyv 145. oldalán): Érintse az $ABC$ derékszögű háromszögbe írt kör az $AB$ átfogót a $D$ pontban. Igazoljuk, hogy a háromszög területe megegyezik annak a téglalapnak a területével, amelynek oldalai $AD$ és $BD$!
- 4.28. probléma** (ld. még 4.26, 4.27, 4.53; a könyv 148. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $ABC$ háromszög oldalait a beírt kör a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontokban érinti, az oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai pedig $O_1$, $O_2$, $O_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe mértani közepe a $P_1P_2P_3$ és $O_1O_2O_3$ háromszögek területének!
- 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$