3 nehézségi fokú problémák:

• 1.5. probléma** (ld. még 1.1; a könyv 5. oldalán): {\rm Moore-nim.} A nim szabályait úgy módosítjuk, hogy legfeljebb $k$ halomból lehet egyszerre elvenni, és az veszít, aki nem tud lépni $(k=1$-re ez természetesen az eredeti nim játék$)$.
• 1.7. probléma** (ld. még 1.6, 1.1; a könyv 7. oldalán): {\rm $2k$-gyalog.} A hatgyalog általánosítása egy $3\times k$-s táblára: a gyalogok a tábla $k$ hosszú oldalán állnak, és gyalog módjára lépnek. Az veszít, aki nem tud lépni.
• 1.8. probléma** (ld. még 1.1, 1.6; a könyv 8. oldalán): Van-e a sakkban nyerő stratégia?
• 1.12. probléma** (ld. még 1.6; a könyv 11. oldalán): Két játékos felváltva egy előre adott $L>0$ számnál nem nagyobb pozitív egész számot ír le úgy, hogy egy később leírt szám ne legyen egyik előbb leírt számnak sem osztója. Az veszít, aki nem tud egy újabb számot hozzáírni a sorozathoz. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?
• 1.15. probléma** (ld. még 1.6; a könyv 12. oldalán): Adott bizonyos számú doboz, amelyek mindegyikében van valamennyi golyó. A játékos egy lépésben akárhány dobozból elvehet golyót, de minden dobozból csak ugyanannyit. Legalább és legfeljebb hány lépés kell az összes doboz kiürítéséhez?
• 2.35. probléma** (ld. még 2.34, 2.36; a könyv 37. oldalán): Az előző példában levő hat feladat nagyon hasonló: mindegyik esetben $ab^n+cn+d$ alakú kifejezésnek valamely $m$ számmal való oszthatóságát kell igazolni minden $n$ természetes szám esetén. Milyen feltételeknek tegyenek eleget az $a$, $b$, $c$, $d$ egész számok, hogy az előbbi kifejezés $m$-mel osztható legyen? $m\oszt a+d$ például egy szükséges feltétele a kívánt oszthatóságnak. Elegendő is ez a feltétel? Keressünk szükséges és elegendő feltételt!
• 2.44. probléma** (a könyv 43. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\geq3$ egész szám, akkor $$t={{(3n)!}\over {n!(n+1)!(n+2)!}}$$ egész szám.
• 2.50. probléma** (ld. még 2.47, 2.48, 2.49; a könyv 47. oldalán): Az $n^k$ alakú számokat, ahol $n>1$, $k>1$ természetes szám, hatványszámnak fogjuk nevezni. \mitem{a)} Létezik-e hatványszámokból álló $m$ tagú számtani sorozat? $(m$ tetszőleges pozitív egész szám.$)$ \mitem{b)} Létezik-e különböző hatványszámokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat? \mitem{c)} Létezik-e különböző számokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat, amelynek egyetlen tagja sem hatványszám?\par
• 2.57. probléma** (a könyv 52. oldalán): Ez a példa a pozitív egész számok $($tizes számrendszerbeli$)$ megalkotásával foglalkozik. Tegyük fel, hogy eleve csak a $4$ adott és megengedett a következő három művelet: \mitem{a)} egy $0$-t írhatunk a meglevő szám végére, azaz $10$-zel szorozhatunk; \mitem{b)} egy $4$-est írhatunk a meglevő szám végére, azaz $10$-zel szorzunk és $4$-et hozzáadunk; \mitem{c)} ha a meglevő szám páros, felezhetünk.\par\noindent A kérdés most az, hogy az {\rm a), b), c)} tetszőlegesen sokszori alkalmazásával eljuthatunk-e minden pozitív egész számhoz?
• 2.69. probléma** (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy az $X^4-Y^4=Z^2$ egyenletnek nincs $0$-tól különböző egész számokból álló megoldása. \mitem{b)} Lehet-e pitagoraszi háromszög területe egész szám négyzete? \mitem{c)} Van-e az $X^4+Y^4=Z^4$ egyenletnek $0$-tól különböző egész számokból álló megoldása? \mitem{d)} Legendre-tól származik a következő példa: Ha az $x$, $y$, $z$ egészek, $0$-tól különbözőek és $x^4+y^4= 2z^2,$ akkor $x^2=y^2$ és $z^2=x^4.$ \mitem{e)} Mutassuk meg, hogy ha $x$, $y$, $z$ a $0$-tól különböző egész számok és $2x^4+2y^4=z^2,$ akkor $x^2=y^2$ és $z^2=4x^4.$ \mitem{f)} Mutassuk meg, hogy a $4x^4-1=3y^4$ egyenletnek egész számokból álló megoldása csak $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$.\par
• 2.70. probléma** (ld. még 2.66, 2.69; a könyv 60. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy nem léteznek olyan $x$, $y$, $u$, $v$ pozitív egész számok, hogy $$x^2+y^2=u^2+v^2,\quad xy=2uv.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan pozitív egész $x$, $y$, $z$ számok, hogy $$x^6+y^6=z^6.$$
• 2.71. probléma** (ld. még 2.70; a könyv 62. oldalán): Felírhatók-e a \mitem{a)} $8k+3$, \mitem{b)} $8k+5$, \mitem{c)} $8k+1$\par\noindent alakú számok $x^2-2y^2$ alakban, ahol $k$, $x$, $y$ természetes számok?
• 2.91. probléma** (a könyv 79. oldalán): Ez a példa egy matematika-történeti érdekesség is. Ramanujan a világ egyik legnagyobb matematikusa írta le valamelyik jegyzetfüzetébe a következő azonosságot:\par\noindent Ha $ad=bc,$ akkor $$\eqalign{64((b+c+d)^6&-(a+c+d)^6-(a+b+d)^6+(a+b+c)^6+(a-d)^6- (b-c)^6)\cr &\quad\times((b+c+d)^{10}-(a+c+d)^{10}-(a+b+d)^{10}+(a+b+c)^{10}\cr &\quad+ (a-d)^{10}-(b-c)^{10})\cr &=45((b+c+d)^8-(a+c+d)^8-(a+b+d)^8+(a+b+c)^8\cr &\quad+ (a-d)^8-(b-c)^8)^2.\cr}$$\par\noindent Az igazán fő kérdésünk az, hogy hogyan lehetett erre rájönni?
• 2.92. probléma** (a könyv 81. oldalán): Legyen $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$, $n\in \nn^+$, $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ adott komplex számok. Az algebra alaptétele azt állítja, hogy létezik olyan $z_0$ komplex szám, hogy $P(z_0)=0.$
• 2.93. probléma** (a könyv 84. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $|x|\leq1$ esetén $|ax^2+bx+c|\leq1$, akkor ugyanitt $|cx^2-bx+a|\leq 4$ érvényes. \mitem{b)} Legyen $F(x)=ax^2+bx+c$, $G(x)=cx^2+bx+a,$ tegyük fel továbbá, hogy $|F(0)|\leq1$, $|F(1)|\leq1$, $|F(-1)|\leq1.$ Mutassuk meg, hogy ekkor $|x|\leq1$ esetén $$|F(x)|\leq{5\over4},\quad |G(x)| \leq2.$$
• 2.94. probléma** (a könyv 85. oldalán): Létezik-e olyan $P(x)$ polinom, amelyiknek legalább egy negatív együtthatója van, de $P^n(x)$-nek minden $n>1$, $n\in \nn^+$ esetén csak pozitív együtthatói vannak?
• 2.95. probléma** (a könyv 86. oldalán): Fermat utolsó tétele {\rm (FLT)} azt mondja, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3,$ akkor az $$x^n+y^n=z^n$$ egyenletnek nincs pozitív egész számokból álló $x$, $y$, $z$ megoldása. A bizonyítást Fermat nem írta le. Ez a Fermat sejtésnek is nevezett feladat a matematika egyik leghíresebb problémája lett, amit sok részeredmény után A.\ Wiles az utóbbi években megoldott. Egy nagyon nevezetes részeredményt G.\ Faltings kapott $1983$-ban. Ez azt mondja, hogy minden $n\in \nn^+$, $n\geq3$ esetben a Fermat egyenletnek csak véges sok primitív megoldása lehet. $($Faltings ezért az eredményért Fields érmet kapott, ami a matematikai Nobel díjnak felel meg.$)$ Egy $x$, $y$, $z$ megoldást primitívnek nevezünk, ha $x$, $y$, $z$-nek nincs $1$-nél nagyobb közös osztója. Faltings is és Wiles is eredményeiket nagyon mély matematikai fogalmak és tételek segítségével nyerték. Most fogadjuk el Faltings tételét és ennek segítségével mutassuk meg, hogy \mitem{a)} Minden páratlan $p$ prímszám esetén van olyan $M>0$ szám, hogy ha $k\in \nn^+$ és $n=pk>M,$ akkor {\rm FLT} igaz. \mitem{b)} Az a) pont segítségével adjunk meg végtelen sok olyan $n$ kitevőt, hogy ezek közül bármelyik kettő relatív prím szám, és {\rm FLT} mindegyik ilyen $n$ esetén igaz.\par
• 2.96. probléma** (a könyv 87. oldalán): Ha $n\in \nn^+$ és $n>2,$ akkor az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek nincs egész számokból álló olyan megoldása, ahol $xyz=0.$ Ez a híres Fermat sejtés, vagy Fermat utolsó tétele {\rm (FLT)}. Fermat maga Diofantosz könyve egyik lapjának margójára azt írta, hogy erre egy igazán gyönyörű bizonyítást talált, de a hely túl kicsi, hogy oda azt leírja. Azóta is sokan keresték ezt a bizonyítást, de senki sem találta. Magát a sejtést az utóbbi években A.\ Wiles igazolta, de olyan eszközökkel, amelyeket Fermat biztosan nem ismert. Euler is tett kísérletet Fermat \idez{bizonyításának} újra felfedezésére. Ezt az ---eredménytelen--- kísérletet itt ismertetjük, mert nagyon tanulságosnak tartjuk.
• 3.1. probléma** (ld. még 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 91. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy $${1\over{15}}<{1\over2}\cdot{3\over4}\cdot{5\over6}\cdots{{99}\over{100}}<{1\over{10}}.$$ \mitem{b)} Általánosítsuk a feladatot. \par
• 3.2. probléma** (ld. még 3.1; a könyv 94. oldalán): Igaz-e, hogy ha van egy olyan halmazunk, amelyik végtelen sok $1$-nél kisebb pozitív számból áll, akkor, ha ebből a halmazból \idez{sok} számot kiválasztunk és ezeket összeszorozzuk, akkor a szorzat \idez{közel} lesz-e a nullához? Ez a kérdés így pontatlan. Mit jelent az, hogy \idez{sok} számot összeszorzunk? Melyik sokat szorozzuk, stb? Fogalmazzunk pontosabban: Létezik-e olyan $\{a_n\}$ $1$-nél kisebb pozitív számokból álló sorozat, amelyikhez van olyan $c>0$ szám, hogy a $b_n= a_1a_2\cdots a_n$ szorzat minden $n\in \nn^+$ esetén $c$-nél nagyobb legyen?
• 3.9. probléma** (ld. még 3.8; a könyv 98. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr^+$, $i=1,2,\ldots,n$, $n\in \nn^+$, $n\geq2,$ akkor $$\root n \of{a_1a_2\cdots a_n}\leq{{a_1+a_2+\cdots+a_n}\over n}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha $a_1=a_2=\ldots=a_n.$
• 3.13. probléma** (a könyv 107. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív számok, akkor $${{a^3+b^3+c^3}\over{a+b+c}}+{{b^3+c^3+d^3}\over{b+c+d}}+{{c^3+d^3+ a^3}\over{c+d+a}}+{{d^3+a^3+b^3}\over{d+a+b}}\geq a^2+b^2+c^2+d^2.$$
• 3.20. probléma** (a könyv 116. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ pozitív számok, ahol $n\in \nn^+$, \hbox{$n\geq3$,} $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, $a_{n+3}=a_3,$, akkor $$S={{a_1}\over{a_2+a_3}}+{{a_2}\over{a_3+a_4}}+\cdots+{{a_n}\over{a_1+a_2}} >{n\over4}.$$
• 3.22. probléma** (a könyv 118. oldalán): Jelölje $\pi(x)$ az $x$-nél nem nagyobb prímszámok számát. Mutassuk meg, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$\pi(n)\geq{{\lg\,n}\over {\lg\,4}}.$$
• 3.23. probléma** (a könyv 118. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $x_1,x_2,\ldots,x_k$; $y_1,y_2,\ldots,y_k$ olyan pozitív számok, hogy minden $r=1,2,\ldots,k$ esetén $$0<x_1y_1<x_2y_2 <\ldots<x_ky_k\quad\hbox{és}\quad x_1+x_2+\cdots+x_r\geq y_1+y_2+\cdots+y_r,$$ akkor $${1\over {x_1}}+{1\over{x_2}}+\cdots+{1\over{x_k}}\leq{1\over{y_1}}+{1\over{y_2}}+\cdots +{1\over{y_k}}.$$ Egyenlőség akkor és csak akkor lép fel, ha minden $1\leq r\leq k$ esetén $x_r=y_r.$ \mitem{b)} Ha $a_1<a_2<\ldots<a_k$ olyan pozitív egész számok, hogy ha a belőlük alkotott $2^k$ részhalmaz mindegyikéhez tekintjük a benne levő elemek összegét, és azt tapasztaljuk, hogy az így kapott számok páronként különbözőek, akkor $${1\over{a_1}}+{1\over{a_2}}+\cdots+{1\over{a_k}}<2.$$
• 3.30. probléma** (a könyv 125. oldalán): Melyik nagyobb: a $\cos(\sin\,x),$ vagy a $\sin(\cos\,x)?$
• 4.18. probléma** (a könyv 139. oldalán): Adott a síkon egy körvonal a középpontjával és egy $AB$ szakasz. Egyélű vonalzó segítségével a sík egy adott $P$ pontján át húzzunk $AB$-vel párhuzamos egyenest!
• 4.28. probléma** (ld. még 4.26, 4.27, 4.53; a könyv 148. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $ABC$ háromszög oldalait a beírt kör a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontokban érinti, az oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai pedig $O_1$, $O_2$, $O_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe mértani közepe a $P_1P_2P_3$ és $O_1O_2O_3$ háromszögek területének!
• 4.51. probléma** (ld. még 4.50, 4.52; a könyv 166. oldalán): Adott háromszögbe szerkesszünk három olyan kört, amelyek mindegyike érinti a háromszög két oldalát és a másik két kört! {\rm (Malfatti-körök szerkesztésének problémája)}
• 4.52. probléma** (ld. még 4.51; a könyv 169. oldalán): Az $ABC$ háromszögbe írjunk be egy $k_1$ kört úgy, hogy érintse a $BC$ és $CA$ oldalakat, sugara pedig kisebb legyen a háromszög beírt körének sugaránál, de nagyobb legyen a beírt kört, valamint a $BC$ és $CA$ oldalakat belső pontban érintő kör sugaránál. Ezután vegyük fel a $k_2$ kört úgy, hogy kívülről érintse a $k_1$ kört, valamint érintse az $AB$ és $CA$ oldalakat. A $k_3$ kör érintse kívülről a $k_2$ kört, valamint az $AB$ és $BC$ oldalakat. Az eljárást folytatva köröknek olyan sorozatát kapjuk, amelyek kívülről érintik az előző kört, valamint a háromszög két oldalát. Mutassuk meg, hogy a $k_7$ kör azonos a $k_1$ körrel!
• 4.57. probléma** (ld. még 4.58; a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$S={{{(a+b+c)}^2} \over {bc}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$ és $K_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén ${K_1}\leq S \leq {K_2}$?
• 4.58. probléma** (ld. még 4.57; a könyv 175. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$T={{(a+b+c)^2} \over {ca}} \quad \hbox{ illetve } \quad U={{(a+b+c)^2} \over {ab}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$, $K_2$, illetve $M_1$, $M_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén teljesüljenek a $${K_1} \leq T \leq {K_2} \quad \hbox{ illetve } \quad {M_1} \leq U \leq {M_2}$$ egyenlőtlenségek?
• 4.62. probléma** (ld. még 4.61; a könyv 179. oldalán): Adott $ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontja legyen $X$. Bocsássunk $X$-ből merőlegeseket a négyszög oldalaira, ezek talppontjai az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalon legyenek rendre $P$, $Q$, $R$, $S$. Igazoljuk, hogy az $ABCD$ négyszögbe írható összes négyszöget tekintve, a $PQRS$ négyszögnél nincs kisebb kerületű beírt négyszög!
• 4.79. probléma** (a könyv 196. oldalán): Legfeljebb hány pontban metszheti egymást a sík $k$ darab körvonala és $n$ darab egyenese?
• 4.80. probléma** (ld. még 4.81, 4.82; a könyv 197. oldalán): Adott a síkban véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy egyenesre. Van-e a síknak olyan egyenese, amelyik pontosan két pontot tartalmaz az adottak közül?
• 4.81. probléma** (ld. még 4.80, 4.82; a könyv 199. oldalán): Adott a térben véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy síkra. Van-e olyan sík, amelyik pontosan három, nem egy egyenesre illeszkedő adott pontot tartalmaz?
• 4.82. probléma** (ld. még 4.80, 4.81; a könyv 200. oldalán): Adott a térben véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy síkra. Van-e olyan sík, amelyre illeszkedő adott pontok a síknak legfeljebb két egyenesén helyezkednek el?
• 4.83. probléma** (ld. még 4.80, 4.87, 4.88; a könyv 200. oldalán): Adott a síkban véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Van-e a síknak olyan köre, amelyik pontosan három adott pontot tartalmaz?
• 4.84. probléma** (ld. még 4.80; a könyv 201. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy az adott pontok által meghatározott egyenesek száma legalább $n$.
• 4.86. probléma** (ld. még 4.83, 4.84, 4.85; a könyv 202. oldalán): Adott a síkban $n$ pont úgy, hogy nem illeszkednek mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Igaz-e, hogy azon körök száma, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek legalább $\left({n-1 \atop 2}\right)+1$?
• 4.88. probléma** (ld. még 4.87; a könyv 204. oldalán): Adott a síkon $2n+3$ pont úgy, hogy közülük semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre és semelyik négy nem illeszkedik egy körre. Mutassuk meg, hogy van olyan kör, amelyik illeszkedik három adott pontra, és felezi a ponthalmazt abban az értelemben, hogy a belsejében is, és rajta kívül is pontosan $n$ darab pont található az adott pontok közül!
• 4.89. probléma** (ld. még 4.88; a könyv 206. oldalán): Adott a síkban $2n$ pont úgy, hogy nincs közöttük három, amelyek egy egyenesre illeszkednek. Bizonyítsuk be, hogy azon egyenesek száma, amelyek pontosan két adott pontra illeszkednek és felezik az adott ponthalmazt $($az általuk meghatározott mindkét félsíkban pontosan $n-1$ adott pont van$)$ legfeljebb $2n\sqrt{2n}$!
• 5.11. probléma** (ld. még 5.8, 5.9, 5.10, 5.11; a könyv 217. oldalán): Két szabályos dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Láthatjuk, hogy annak valószínűsége, hogy az összeg $7$, sokkal nagyobb, mint annak valószínűsége, hogy $3$. Kérdés, hogy készíthető-e két olyan (nem szabályos) dobókocka, melyek lapjain $1$-től $6$-ig vannak a számok, és ezekkel dobva $2$-től $12$-ig minden összeg egyformán valószínű.
• 5.12. probléma** (ld. még 5.10, 5.11; a könyv 219. oldalán): Vegyünk két kockát, melyeket feldobva egyenlő valószínűséggel esnek bármelyik lapjukra. Meg lehet-e számozni pozitív egész számokkal a kockák lapjait a szokásostól eltérően úgy, hogy a következő két feltétel teljesüljön: \mitem{a)} a két kockát egyszerre feldobva a dobott számok összege $2$ és $12$ között legyen, \mitem{b)} bármely összeg dobásának valószínűsége ugyanakkora legyen, mint két szabályos dobókocka esetén.
• 5.26. probléma** (ld. még 5.27, 5.28, 5.29; a könyv 228. oldalán): Véletlenországban a halálra ítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húzhatnak. Két urnát használnak erre, mindegyikben $25-25$ fehér és fekete golyó van. A bűnös szemét bekötik, így választ urnát és abból húz ki egy golyót. Ha fehéret húz kegyelmet kap, ha feketét, akkor kivégzik. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszése szerint ő oszthassa szét az urnákban. Kívánságát teljesítették. Kérdés hogyan ossza el a golyókat, ha nagyobb eséllyel akar megmenekülni?
• 5.31. probléma** (ld. még 5.26; a könyv 230. oldalán): András, Béla és Csaba teniszeznek. András a leggyengébb játékos, Béla a legerősebb, és feltesszük, hogy annak valószínűsége, hogy egy játékos legyőz egy másikat, a verseny során nem változik. A következő szabályok szerint játszanak: \mitem{(a)} Egy meccsen két ember játszik, döntetlen nincs. \mitem{(b)} A leggyengébb játékos választja ki az első meccs két résztvevőjét. \mitem{(c)} A további mérkőzéseken az első meccs győztese játszik a harmadikkal $($egy ember kétszer is játszhat ugyanazzal$)$. \mitem{(d)} Az nyeri a versenyt, akinek először lesz két nyert meccse. \par\noindent Hogyan válassza ki András az első meccs két résztvevőjét, hogy neki a lehető legnagyobb esélye legyen a végső győzelemre?
• 5.37. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.38; a könyv 235. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék $($szabályos érmével$)$, melyben az egyik játékos nyerési esélye ${1/3}?$
• 5.38. probléma** (ld. még 5.35, 5.36, 5.37; a könyv 237. oldalán): Van-e olyan kétszemélyes játék szabályos érmével, amelyben az egyik játékos ${1/ \pi}$ valószínűséggel nyer?
• 5.47. probléma** (a könyv 244. oldalán): Bergengóciában háromféle fémpénz van forgalomban, ezek ---növekvő értéksorrendben--- az {\rm alig}, a {\rm bagó} és a {\rm csenevész}. Márton és Nándor a következő játékot játszák. Márton elővesz egy általa választott érmét, erre Nándor köteles a másik két fajtából egyet-egyet elővenni. A három érmét egyszerre feldobják, és azé lesz mindhárom érme, akinek az írásra esett érméje, vagy érméi nagyobb összértéket képviselnek. \'Igy döntetlen csak akkor fordulhat elő, ha csupa fej jön ki, ebben az esetben mindenki megtartja a saját pénzét. A fiúk észreveszik, hogy a játék mindig igazságos, akármelyik érmét is veszi elő Márton. Kérdés: Hány {\rm alig}-ot ér egy {\rm csenevész}?
• 5.48. probléma** (a könyv 245. oldalán): {\rm Ültetési probléma.}\ Négy házaspár ül egy elnökségi asztalnál egy gyűlésen. Mi a valószínűsége annak, hogy egyetlen férj sem ül a felesége mellett?
• 5.49. probléma** (a könyv 246. oldalán): {\rm A szavazási probléma.}\ Tegyük fel, hogy egy választáson két jelölt van, $P$ és $Q$. A $P$ jelölt $p$ szavazatot kapott, $Q$ pedig $q$ szavazatot, $p>q.$ Ha a szavazatok minden sorrendje egyformán valószínű, akkor mi a valószínűsége annak, hogy $P$ a szavazatszámlálás során végig vezetett?
• 6.3. probléma** (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 252. oldalán): Az előző példa után természetes módon merül fel az a kérdés, hogy ha $a$ pozitív szám, akkor létezik-e $K$ szám úgy, hogy az $$1+{1\over{2^a}}+{1\over{3^a}}+\cdots+{1\over {n^a}}$$ összeg minden $n\in \nn^+$ esetén $K$ alatt marad? Ha $a>2,$ akkor mint azt az egyenlőtlenségekről szóló fejezetben láttuk, minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}\leq1+{1\over{2^2}} +\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$ Ha $0<a<1,$ akkor minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}>1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}.$$ Az előbbi példát felhasználva ez azt jelenti, hogy ilyen $a$-k esetén nincs alkalmas $K$. Az a kérdés maradt, hogy korlátos-e az $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}$$ összeg, ha $1<a<2$?
• 6.4. probléma** (ld. még 6.2; a könyv 253. oldalán): Jelöljük $d(n)$-nel az $n$ pozitív egész szám osztóinak a számát. Néhány speciális eset: $d(1)=1$, $d(2)=2$, $d(3)=2$, $d(4)=3$, $d(6)=4$, $d(12)=6$. Ha $p$ prímszám, akkor $d(p)=2,$ ha $n=2^k,$ ahol $k\in \nn^+,$ akkor $d(n)=k+1.$ Ebből az is leolvasható, hogy tetszőlegesen megadva $M$ számot, van olyan $n$ egész szám, hogy $d(n)>M.$ Amint az eddigi példák is mutatják a $d(n)$ számok \idez{elég szabálytalanul} ingadoznak. A kérdés ezek után az, hogy vajon az átlagról tudnánk-e valami jellegzeteset mondani? Tudnánk-e becslést adni a $${{d(1)+d(2)+\cdots+d(n)}\over n}$$ számtani középre?
• 6.7. probléma** (ld. még 6.3; a könyv 255. oldalán): Mutassuk meg, hogy végtelen sok prímszám van.
• 6.9. probléma** (ld. még 6.3, 6.10; a könyv 257. oldalán): Mutassuk meg, hogy tetszőleges $m\in \nn^+$ esetén $$\pi^2{{2m(m+1)}\over{3(2m+1)^2}}>1+{1\over{2^2}}+\cdots+{1\over{m^2}}> \pi^2{{m(2m-1)}\over{3(2m+1)^2}}.$$
• 6.10. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 259. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egész számok, hogy $a^2+b^2=c^2,$ akkor az ${a/ b}$ számot pitagoraszi racionális számnak nevezzük. ${a/ b}$-vel együtt ${b/ a}$ is pitagoraszi racionális szám. Mutassuk meg, hogy a pitagoraszi racionális számok a nemnegatív valós számok körében sűrűn vannak. $($Ezen a sűrűségen azt értjük, hogy bárhogyan is tekintünk a pozitív félegyenesen egy intervallumot, ebben van pitagoraszi racionális szám.$)$
• 6.13. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 263. oldalán): Legyen $n$ természetes szám. Vizsgáljuk meg, hogy az $$x^2+y^2=n$$ egyenletnek hány egész számokból álló megoldása van? Jelöljük ezt a számot $r(n)$-nel. $n=0$ esetén egy megoldás van: $(0,0).$ $r(1)=4,$ mert $n=1$ esetén négy megoldás van: $(1,0); (0,1); (-1,0); (0,-1)$. Ellenőrizhetjük, hogy $r(2)=4.$ $r(3)= 0,$ amiről próbálkozással is meggyőződhetünk, de gondolkodhatunk a következő módon is: Ha $x^2+y^2$ páratlan egész szám, akkor $x$ és $y$ közül az egyik páros, a másik páratlan. Páros szám négyzete osztható $4$-gyel, páratlan szám négyzete $4$-gyel osztva maradékul $1$-et ad. Ezért nem csupán azt kaptuk, hogy $x^2+y^2$ nem lehet $3$, hanem azt is, hogy $4k+3$ alakú sem lehet, ahol $k\in \nn.$ Nemcsak ilyen $n$ számokra lesz az $r\colon\nn\rightarrow \nn$ függvény $0$. Meggyőződhetünk róla, hogy például $r(12)=0.$ Az $r$ végtelen sok $n$ esetén lesz $0$, de nagyon nagy értékeket is felvehet. A feladat az, hogy tudunk-e valamit mondani az $${{r(0)+r(1)+\cdots+r(n-1)}\over n}$$ átlagról?
• 6.15. probléma** (ld. még 6.14; a könyv 266. oldalán): Legyen adott az $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=\sin x+\sin (x\sqrt2)$ függvény. Az világos, hogy minden $x$ esetén $$-2<f(x)<2.$$ Javítható-e ez a becslés?
• 6.17. probléma** (a könyv 268. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha a $p$ prímszám $4m+1$ alakú, ahol $m\in \nn^+,$ akkor van olyan $x, y\in \nn$, hogy $p=x^2+y^2.$
• 6.24. probléma** (a könyv 275. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$ olyan pozitív szám, hogy minden $p$ prímszám esetén $p^a$ egész szám, akkor $a$ is egész szám kell legyen.
• 6.28. probléma** (a könyv 283. oldalán): A $T$ téglalapot lefedtük véges sok téglalappal. A lefedő téglalapok nem nyúlnak egymásba, és nem nyúlnak ki $T$-ből. Mutassuk meg, hogy ha a lefedő téglalapok legalább egyik oldala egész szám, akkor $T$-nek is legalább egyik oldala egész szám.
• 6.29. probléma** (ld. még 3.4, 3.5, 3.6, 3.7; a könyv 287. oldalán): Ez egy rejtvényszerű, nevezetes probéma. Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén tetszőleges mennyiségű üzemanyagot találunk, a sivatagban jelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lehetőségünk van lerakatokat készíteni a sivatagban. Lehetséges-e a sivatagon az autóval átkelni?