2 nehézségi fokú problémák:

• 1.1. probléma* (ld. még 1.6; a könyv 1. oldalán): {\rm Nim játék.} Osszunk több halomba egy csomó gyufaszálat. Két játékos felváltva vesz el akármelyik $($de csak egy$)$ halomból legalább egy gyufaszálat. Az nyer, aki utoljára vesz el.
• 1.2. probléma* (ld. még 1.1, 1.3, 6.26; a könyv 3. oldalán): {\rm Wythoff-nim.} Az eredeti nim-et úgy játsszuk, hogy $2$ halom van, azok bármelyikéből lehet elvenni, vagy a két halomból egyszerre ugyanannyit lehet elvenni, és az veszít, aki nem tud lépni.
• 1.3. probléma* (ld. még 1.1, 1.2, 6.26; a könyv 3. oldalán): Egy $k\times k$ méretű táblán két játékos felváltva léptet egy bábut a bal alsó sarok felé úgy, hogy egy lépésben vagy vízszintesen balra, vagy függőlegesen lefelé, vagy átlósan balra lefelé mozgatja a bábut akármennyi mezőn keresztül. Kinek van nyerő stratégiája?
• 1.4. probléma* (ld. még 1.1; a könyv 5. oldalán): A szabályok ugyanazok, mint a nimben, de most az veszít, aki az utolsó gyufaszálat kénytelen elvenni.
• 1.6. probléma* (ld. még 1.1; a könyv 5. oldalán): {\rm Hatgyalog.} Egy $3\times 3$-as táblának két átellenes oldalán $3$ világos, illetve $3$ sötét gyalogot helyezünk el. A gyalogok a sakkban szokásos lépéseket tehetik, tehát egyet előre, vagy ha ferdén előre van egy ellentétes színű gyalog, akkor annak a helyére léphet miközben az ott álló gyalogot levesszük a tábláról. Az veszít, aki nem tud lépni.
• 1.9. probléma* (ld. még 1.1; a könyv 10. oldalán): Két játékos felváltva húzza be egy szabályos $n$-szög átlóit úgy, hogy azok ne metsszék egymást. Az veszít, aki nem tud újabb átlót behúzni. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája, és mi az?
• 1.10. probléma* (ld. még 1.6; a könyv 10. oldalán): A kezdő játékos elhelyez egy huszárt egy sakktábla valamelyik mezőjére. Ezek után a játékosok felváltva lépnek a huszárral a sakk szabályainak megfelelően úgy, hogy olyan mezőre nem lehet lépni, ahol a huszár már járt. Az veszít, aki nem tud lépni. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája és mi az?
• 1.11. probléma* (ld. még 1.1; a könyv 10. oldalán): Két játékos felváltva lép egy $n\times n$-es táblán egy bábuval olyan oldalszomszédos mezőre, amelyiken eddig a bábu nem járt. Az veszít, aki nem tud lépni. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája, és mi az?
• 1.13. probléma* (ld. még 1.6; a könyv 11. oldalán): {\rm Dupla-sakk.} A sakk játék szabályait úgy módosítjuk, hogy mindkét játékos két-két szabályos sakk-lépést tesz meg egyszerre. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája?
• 1.14. probléma* (ld. még 1.6; a könyv 12. oldalán): $n$ dobozban rendre $1,2,\ldots,n$ golyó van. A játékos egy lépésben akárhány dobozból elvehet golyót, de minden dobozból csak ugyanannyit. Legfeljebb hány lépés kell az összes doboz kiürítéséhez?
• 1.16. probléma* (a könyv 14. oldalán): Két játékos felváltva ír az $f(x)=x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$ polinomba egész számokat az $a_2$, $a_1$, $a_0$ együtthatók valamelyikének helyébe. A kezdő játékos első lépésként nem írhat $0$-t, és akkor nyer, ha a polinom gyökei egész számok. Kinek van nyerő stratégiája és mi az?
• 1.17. probléma* (a könyv 15. oldalán): Két játékos felváltva valós számokat ír az $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_1x+1$ $(n>1)$ polinomba az $a_{2n-1}$, $\ldots$, $a_1$ együtthatók valamelyikének helyébe. A kezdő játékos akkor nyer, ha nincs valós gyök. Kinek van nyerő stratégiája és mi az?
• 1.18. probléma* (a könyv 16. oldalán): Egy háromszög alakú tortaszeleten Anna kijelöl egy pontot, amin keresztül Béla egy egyenes vágással kettévágja a tortaszeletet, és elveszi a nagyobbik darabot. Mekkora darabot tud Béla biztosítani magának, és mit csináljon Anna, hogy minél nagyobb darab maradjon neki?
• 2.9. probléma* (ld. még 2.8; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy {\openup\jot \mitem{a)} $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=0;$ \mitem{b)} $(a^2-bc)^3+(b^2-ac)^3+(c^2-ab)^3-3(a^2-bc) (b^2-ac)(c^2-ab)=(a^3+b^3+c^3-3abc)^2;$ \mitem{c)} $(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3-3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=$ $4(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{d)} $(3a-b-c)^3+(3b-c-a)^3+(3c-a-b)^3-3(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)=$ $16(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{e)} $(4a-b-c)^3+(4b-c-a)^3+(4c-a -b)^3-3(4a-b-c)(4b-c-a)(4c-a-b)=$ $50(a^3+b^3+c^3-3abc).$\par}
• 2.15. probléma* (ld. még 2.8, 2.9, 2.16; a könyv 26. oldalán): Legyen $$t_n={{a^n}\over{(a-b)(a-c)}}+{{b^n}\over{(b-a)(b- c)}}+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)}}.$$ Számítsuk ki $t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ és $t_4$-et.
• 2.17. probléma* (a könyv 27. oldalán): Az $a$, $b$, $c$ olyan valós számok, hogy $$ {{b^2+c^2-a^2}\over{ 2bc}}+{{c^2+a^2-b^2}\over{2ac}}+{{a^2+b^2-c^2}\over{2ab}}=1.$$ A bal oldalon levő összeadandókról tudunk-e ekkor valami speciálisat állítani? Például: mindegyik $1/3$ kell legyen, vagy mindegyik pozitív, vagy kettő közülük $1$, a harmadik pedig $-1,$ vagy bármely olyan hármas előfordulhat, amely összegül $1$-et ad, vagy valami olyan tulajdonság érvényes, ami itt nincs felsorolva?
• 2.19. probléma* (a könyv 29. oldalán): Előállítható-e a $\root 3\of 2$ szám $a+b\sqrt r$ alakban, ahol $a$, $b$, $r$ racionális számok?
• 2.20. probléma* (ld. még 2.19; a könyv 29. oldalán): Döntsük el, hogy a $$\root 3\of{\sqrt 5+2}-\root 3\of{ \sqrt 5-2}$$ szám racionális, vagy irracionális?
• 2.21. probléma* (ld. még 2.20; a könyv 30. oldalán): Vannak-e olyan $m$, $n$ nem-negatív egész számok, hogy \mitem{a)} $(5+3\sqrt2)^m=(3+5\sqrt2)^n;$ \mitem{b)} $(a+b\sqrt d)^m=(b+a\sqrt d)^n,$ ahol $a$, $b$ természetes számok, legnagyobb közös osztójuk $1$, $a\not =b,$ és $d>1$ olyan természetes szám, amelynek nincs négyzetszám osztója $($természetesen az $1$-en kívül$)$.\par
• 2.24. probléma* (ld. még 2.20, 2.21; a könyv 32. oldalán): Legyen $n$ és $m$ két különböző pozitív egész szám, egyik sem négyzetszám. Mi a feltétele annak, hogy létezzék olyan $k\in \nn^+,$ hogy $$\sqrt n+\sqrt m= \sqrt k$$ legyen?
• 2.28. probléma* (ld. még 2.33; a könyv 34. oldalán): Igazoljuk, hogy végtelen sok $4n+3$ alakú prímszám van.
• 2.30. probléma* (ld. még 2.9; a könyv 35. oldalán): Az $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ egész számokról tudjuk, hogy összegük és négyzeteik összege is osztható az $n$ páratlan egész számmal. Igazoljuk, hogy akkor $$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$$ is osztható $n$-nel!
• 2.36. probléma* (ld. még 2.34, 2.35; a könyv 38. oldalán): Ha az előző példa feladatait $$m\oszt ab^n+cn+d$$ formában tekintjük, akkor azt vesszük észre, hogy mind a hat esetben $m\oszt c^2.$ Például {\rm b)}-ben $27\oszt 18^2.$ Vajon véletlen-e ez, vagy ha $m\oszt ab^n+cn+d$ minden $n\in \nn$ esetén, akkor $m\oszt c^2$ is igaz?
• 2.37. probléma* (a könyv 39. oldalán): Milyen $1$-nél nagyobb $m$ egész számokra igaz, hogy $m$ osztója az $1\cdot2\cdot3\cdots(m-1)$ szorzatnak?
• 2.38. probléma* (ld. még 2.37; a könyv 39. oldalán): \mitem{a)} Keressünk olyan $p$, $q$, $r$ prímszámokat, hogy $p^2=q^2+r^2$ legyen. \mitem{b)} Keressünk olyan $p$, $q$, $r$, $s$, $t$ prímszámokat, hogy $p^2+q^2=r^2+s^2+t^2$ legyen.\par
• 2.39. probléma* (a könyv 39. oldalán): Tudjuk, hogy $3025=(30+25)^2.$ Van-e még olyan négyjegyű egész szám, amelyik ugyanilyen tulajdonságú?
• 2.40. probléma* (ld. még 2.41; a könyv 40. oldalán): Az $a$, $b$, $c$, $d$ legyenek adott egész számok, és tegyük fel, hogy $a\not =0$, $bc-ad\not =0.$ Mutassuk meg, hogy akkor véges sok egész számokból álló olyan $(x,y)$ számpár van, amelyre $$axy+ bx+cy+d=0.$$
• 2.43. probléma* (a könyv 42. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket:$$\eqalign{&1+{1\over2}+{1 \over{1\cdot2}}=2,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over{1\cdot2}}+ {1\over{2\cdot3}}+{1\over{3\cdot1}}+{1\over{1\cdot2\cdot3}}=3,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+ {1\over4}+{1\over{1\cdot2}}+{1\over{1 \cdot3}}+\cdots+{1\over{2\cdot3\cdot4}}+{1\over{1\cdot2\cdot3\cdot4}}= 4.\cr}$$ Véletlen ez, amit észreveszünk, vagy általánosan is igaz? Fogalmazzuk meg pontosan a kérdést és azután próbáljuk megoldani!
• 2.45. probléma* (a könyv 45. oldalán): Az $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $\ldots$ számsorozatot a következőképpen értelmezzük:$$x_1={1\over2},\quad x_{n+1}=x_n^2+x_n,$$ ha $n\in \nn^+.$ Állapítsuk meg az $$S={1\over{x_1+1}}+{1\over{x_2+1}}+\cdots+ {1\over{x_{100}+1}}$$ összeg egész részét!
• 2.47. probléma* (ld. még 2.46; a könyv 46. oldalán): Van-e olyan $p$ prímszám, amelyhez található olyan $k$ és $m$ természetes szám, $m>1$, hogy $2^p+3^p=k^m$?
• 2.48. probléma* (ld. még 2.49; a könyv 46. oldalán): Van-e $2000$ egymás után következő olyan természetes szám, hogy ezek mindegyikének létezik $a^{2000}$ alakú osztója? Itt természetesen $a>1$ pozitív egész szám, és $a^{2000}$ számonként változhat.
• 2.49. probléma* (ld. még 2.47, 2.48, 2.50; a könyv 46. oldalán): \mitem{a)} Létezik-e olyan $n$ természetes szám, hogy minden páros $k$ természetes szám esetén $$k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat egyetlen tagja sem osztható $n$-nel? \mitem{b)} Bármely $n$ természetes számhoz található olyan $k$ természetes szám, hogy a $$k+1, k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat minden tagja osztható $n$-nel.\par
• 2.51. probléma* (a könyv 48. oldalán): Legyen $k$ és $m$ két különböző pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a $2^k+2^m$ és a $3^k+3^m$ alakú számok között végtelen sok négyzetszám van. Igaz-e hasonló állítás a $4^k+4^m$, $5^k+5^m$, $6^k+6^m$, $7^k+7^m$ alakú számokra?
• 2.52. probléma* (a könyv 49. oldalán): Az $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $1989$ számok közül kiválasztjuk azokat, amelyek $2^a+2^b+2^c+2^d+2^e$ alakban előállíthatók, ahol $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ nem feltétlen különböző nemnegatív egész számok. Hány számot választottunk ki?
• 2.55. probléma* (ld. még 2.54; a könyv 51. oldalán): Milyen $x$, $y$, $z$ egész számokra lesz:$${{xy}\over z}+{{yz}\over x}+ {{zx}\over y}=3.$$
• 2.56. probléma* (ld. még 2.55; a könyv 51. oldalán): Melyek azok az egész számok, amelyek esetén $$3^x-2^y=1.$$
• 2.58. probléma* (a könyv 53. oldalán): Van $m$ dobozunk, mindegyikben néhány labda. Legyen $n<m$ adott pozitív egész szám. Egy lépés a következőt jelenti: kiválasztunk tetszőlegesen $n$ dobozt, és mindegyikbe beleteszünk egy labdát. Mutassuk meg, hogy \mitem{a)} Ha $(m,n)=1,$ akkor lehetséges, hogy véges sok lépés után mindegyik dobozban ugyanannyi labda legyen. \mitem{b)} Ha $(m,n)\not =1,$ akkor lehetséges kezdetben labdákat úgy elhelyezni a dobozokban, hogy ezután véges sok lépéssel semmiképpen sem lehet elérni, hogy mindegyik dobozban ugyanannyi labda legyen.\par
• 2.59. probléma* (a könyv 54. oldalán): Teljes négyzet $2$, $3$, $7$ vagy $8$-ra nem végződhet. Mi lehet az utolsó előtti jegy? Tekintsük a következő négyzeteket: $10^2=100$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $16^2=256$, $8^2=64$, $26^2=576$, $9^2=81$, $14^2=196$. Utolsó előtti jegyként tehát $0$-tól $9$-ig minden egyjegyű szám felléphet. Most mutassuk meg, hogy az utolsó jegy előtt $101$ nem állhat!
• 2.61. probléma* (ld. még 2.60, 2.62, 2.63; a könyv 55. oldalán): Legyen $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet egy alapmegoldása, és tegyük fel, hogy $a$ páros. Akkor \mitem{a)} léteznek olyan $m, n\in \nn^+$ számok, hogy $m>n$ és $a=2mn$, $b=m^2-n^2$, $c=m^2+n^2$; \mitem{b)} $(m,n)=1;$ \mitem{c)} $m$ és $n$ különböző paritásúak.\par
• 2.62. probléma* (ld. még 2.60, 2.61, 2.63; a könyv 55. oldalán): Ha $m, n\in \nn^+$ és $$a=2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2,$$ akkor $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet megoldása. Ha még az is igaz, hogy $(m,n)= 1$, $m$, $n$ különböző paritású, és $m>n,$ akkor $a$, $b$, $c$ az egyenlet alapmegoldása.
• 2.74. probléma* (ld. még 2.63; a könyv 64. oldalán): Mutassuk meg, hogy az $$x^2-Dy^2=z^2$$ egyenletnek, bármely $D$ egész szám esetén, végtelen sok $x$, $y$, $z$ megoldása van a természetes számok körében!
• 2.75. probléma* (ld. még 2.74; a könyv 65. oldalán): Mutassuk meg, hogy az $$x^2-Dy^2=1,\quad D=m^2+1,\quad m\in \nn^+,$$ egyenletnek végtelen sok $x$, $y$ megoldása van a természetes számok körében!
• 2.76. probléma* (a könyv 65. oldalán): A tízes számrendszerben írjuk fel a pozitív egész számokat. Az a kérdés, hogy vajon van-e végtelen sok olyan pozitív egész szám, amelyik azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy egy jegyét megváltoztatva nem kaphatunk prímszámot?
• 2.77. probléma* (a könyv 66. oldalán): Három, páronként különböző prímszám köbgyökei lehetnek-e egy számtani sorozat $($nem feltétlenül egymás után következő$)$ tagjai?
• 2.86. probléma* (a könyv 73. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: {\openup\jot \mitem{a)} $x(x+y+z)=a^2$, $y(x+y+z)=b^2$, $z(x+y+z)=c^2;$ \mitem{b)} $x(x+y+z)=a-yz$, $y(x+y+z)=b-zx$, $z(x+y+z)=c-xy;$ \mitem{c)} $y+2x+z=a(y+x)(z+x)$, $z+2y+x=b(z+y)(x+y)$, $x+2z+y=c(y+z)(x+z);$ \mitem{d)} $x+y+xy=a$, $y+z+yz=b$, $z+x+zx=c;$ \mitem{e)} $x^2+y^2=cxyz$, $y^2+z^2=bxyz$, $z^2+x^2=axyz;$ \mitem{f)} $x^3=ax+by$, $y^3=bx+ay;$ \mitem{g)} $x^2+y^2+xy=c^2$, $z^2+x^2+xz=b^2$, $y^2+z^2+yz=a^2;$ \mitem{h)} $x+y+z=a$, $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x^3+y^3+z^3=a^3.$\par}
• 2.87. probléma* (ld. még 2.85; a könyv 75. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$; \mitem{b)} $\root3\of{a+\sqrt{x}}+\root3\of{a-\sqrt{x}}=\root3\of{b}$; \mitem{c)} $\displaystyle{{(a-x)\sqrt{a-x}-(b-x)\sqrt{x-b}}\over {\sqrt{a-x}+\sqrt{x-b}}}=a-b$ \mitem{d)} $\displaystyle{{\sqrt{a+x}}\over{\sqrt a+\sqrt{a+x}}}= {{\sqrt{a-x}}\over{\sqrt a-\sqrt{a-x}}}$}
• 2.88. probléma* (a könyv 77. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $\log_{a^2}x+\log_{x^2}a=1$, $a>0$, $a\not=1;$ \mitem{b)} $\log_ax\log_bx=\log_ab$, $a>0$, $b>0$, $a\not=1$, $b\not=1;$ \mitem{c)} $x^{\lg x}=100x;$ \mitem{d)} $\lg\sqrt{1+x}+3\lg\sqrt{1-x}=\lg\sqrt{1-x^2}+2;$ \mitem{e)} $\log_a\sqrt{1+x}+3\log_{a^2}(1-x)=\log_{a^4}(1-x^2)^2+2$, $a>0$, $a\not=1;$ \mitem{f)} $4^x-3^{x-{1/2}}=3^{x+{1/2}}-2^{2x-1};$ \mitem{g)} $2^x+2^{x-1}+2^{x-2}=7^x+7^{x-1}+7^{x-2};$ \mitem{h)} $x^y=y^x$, $a^x=b^y$, $a>0$, $b>0$, $a\not=1$, $b\not=1$, $x>0$, $y>0;$ \mitem{i)} $x^y=y^x$, $x^m=y^n.$\par}
• 3.3. probléma* (ld. még 3.1, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 95. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, és $n>1,$ akkor $${1\over{n+1}}+ {1\over{n+2}}+\cdots+{1\over{2n}}>{{13}\over{24}}.$$
• 3.4. probléma* (ld. még 3.1, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7, 3.18, 3.21; a könyv 95. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$ és $n>1$, akkor $${n\over2}<a_n=1+ {1\over2}+ {1\over3}+\cdots+{1\over{2^n-1}}<n.$$
• 3.7. probléma* (ld. még 3.4, 3.5, 3.6; a könyv 97. oldalán): Legyen $n$ rögzített pozitív egész szám $($az érdekes az, ha \idez{nagy} számra gondolunk$)$. Az $$1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots+{1\over n}$$ összegből hagyjunk el minden olyan ${1/ k}$ tagot, amelyikben a $k$ tizes számrendszerben való felírásában a $9$-es számjegy szerepel. Mutassuk meg, hogy a megmaradó tagok összege, bármilyen nagy szám volt is az $n$, $80$-nál kisebb.
• 3.10. probléma* (ld. még 3.9; a könyv 104. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ pozitív számok, akkor $$a+b+c\leq {{a^2+b^2}\over{2c}}+{{b^2+c^2}\over{2a}}+{{c^2+a^2}\over{2b}}\leq{{a^3} \over{bc}}+{{b^3}\over{ca}}+{{c^3}\over{ab}}.$$
• 3.11. probléma* (ld. még 3.19; a könyv 105. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy ha $n\in \nn^+$, $x\in \rr$, $x>-1,$ akkor $$(1+ x)^n\geq1+nx.$$ {\rm Ez az ú.n.\ Bernoulli-féle egyenlőtlenség.}
• 3.12. probléma* (ld. még 3.9, 3.19; a könyv 106. oldalán): Mutassuk meg, hogy $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n< \left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$
• 3.14. probléma* (a könyv 108. oldalán): Keressünk olyan $k$ és $K$ számot, hogy ha $a$ és $b$ pozitív számok, $a+b=1,$ akkor $$k\leq \left(1+{1\over a}\right)\left(1+{1\over b}\right)\leq K.$$
• 3.15. probléma* (a könyv 110. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög oldalai $a,b,c,$ a területe pedig $t$, akkor $$a^2+b^2+c^2\geq 4t\sqrt3.$$
• 3.16. probléma* (a könyv 112. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $x_1,\,x_2,\ldots,x_n$ pozitív számok, $x_1+ x_2+\cdots+x_n=s,$ akkor $$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq1+s+{{s^2}\over{2!}} +{{s^3}\over{3!}}+\cdots+{{s^n}\over{n!}}.$$
• 3.19. probléma* (ld. még 3.12, 3.11; a könyv 113. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n <\left(1+{1\over{n+1}}\right)^{n+1}$$ \mitem{b)} Van-e olyan $k$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$\left(1+{1\over n}\right)^n<k?$$
• 3.21. probléma* (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 117. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ pozitív számok, akkor $${1\over {a^3+b^3+abc}}+{1\over{b^3+c^3+abc}}+{1\over{c^3+a^3+abc}}\leq{1\over {abc}}.$$
• 3.24. probléma* (a könyv 119. oldalán): A síkban a $P_1(x_1,y_1),\>P_2(x_2,y_2)$ pontok távolságát a $$d(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ formula szolgáltatja. Tudjuk, hogy érvényes a háromszög-egyenlőtlenség:$$ d(P_1,P_2)\leq d(P_1,P_3)+d(P_3,P_2),$$ azaz $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- y_2)^2}\leq\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}+\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}.$$ Vezessük be az $x_1-x_3=a_1$, $x_3-x_2=a_2$, $y_1-y_3=b_1$, $y_3-y_2=b_2$ jelöléseket. Ezekkel a jelölésekkel az előző egyenlőtlenség így írható:$$\sqrt{(a_1+a_2)^2+(b_1+b_2)^2} \leq\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A bal oldal nemnegatív, így az egyenlőtlenség igaz marad, ha mindkét oldalt négyzetre emeljük:$$a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+2(a_1a_2+b_1b_2)\leq a_1^2+a_2^2+b_1^2+ b_2^2+2\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2},$$ azaz $$a_1a_2+b_1b_2\leq \sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}.$$ A síkot, illetve a teret $2$-, illetve $3$-dimenziós térnek nevezve, az $n$-dimenziós teret értelmezhetjük úgy, mint az $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ szám n-esek halmazát. Két pont $P(x_1,\ldots,x_n)$, $Q(y_1,\ldots, y_n)$ távolságát most így definiáljuk: $$d(P,Q)=\sqrt{(x_1- y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}.$$ Leolvasható, hogy $d(P,Q)\geq0,$ $d(P,Q)$ akkor és csak akkor $0$, ha $P=Q,$ továbbá $d(P,Q)=d(Q,P)$. Igaz-e a háromszög-egyenlőtlenség, azaz tetszőleges $P$, $Q$, $R$ pontok esetén $$d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q)?$$ Más módon írva ugyanez az egyenlőtlenség:$$\eqalign{&\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\cr&\qquad\leq\sqrt{(x_1- z_1)^2+\cdots+(x_n-z_n)^2}+\sqrt{(z_1-y_1)^2+\cdots+(z_n-y_n)^2}.\cr}$$ Vezessük be az $x_i-z_i=a_i$, $z_i-y_i=b_i$ $(i=1,2,\ldots,n)$ jelöléseket. E jelölésekkel a kérdés így hangzik: Igaz-e a következő egyenlőtlenség:$$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2} \leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}?$$ Négyzetre emelve és egyszerűsítve: $$a_1b_1+\cdots+a_nb_n\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2} \sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}.$$ Ha ez az egyenlőtlenség igaz, akkor az előző is az. Ezt az egyenlőtlenséget Cauchy-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítsuk be!
• 3.29. probléma* (a könyv 124. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_7$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq {{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq{1\over{\sqrt3}}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy ha $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{13}$ valós számok, akkor van közöttük két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+a_ia_j}}\leq 2-\sqrt3.$$ \mitem{c)} Legyenek adva az $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ valós számok, $n\geq4.$ Van-e olyan $K_n$ szám, hogy az adott számok között létezzék két olyan $a_i$ és $a_j$, $i\not=j,$ hogy $$0\leq{{a_i-a_j}\over{1+ a_ia_j}}\leq K_n.$$
• 4.5. probléma* (a könyv 129. oldalán): Adott egy $e$ egyenesen négy pont: $A$, $B$, $C$ és $D$ ebben a sorrendben. Mi azon $M$ pontok halmaza a térben, amelyekre $MCD\angle =MAD\angle +MBD\angle$?
• 4.7. probléma* (a könyv 130. oldalán): Adott a síkban két pont, egy $\alpha$ szög, továbbá egy, a két adott pontot összekötő egyenessel párhuzamos egyenes. Szerkesszünk az adott egyenesen olyan szakaszt, amely mindkét adott pontból $\alpha$ szög alatt látszik!
• 4.8. probléma* (a könyv 130. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott a háromszög kerülete $(a+b+c)$, továbbá az $a$ és $b$ oldalakhoz hozzáírt körök $r_a$ és $r_b$ sugara!
• 4.9. probléma* (a könyv 131. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának, és a két oldal által közrefogott belső szögfelező háromszögbe eső szakaszának a hossza! Vizsgáljuk meg a szerkeszthetőség feltételeit!
• 4.10. probléma* (a könyv 132. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik csúcsa, az ebből kiinduló belső szögfelezőnek a szemközti oldallal vett metszéspontja, valamint a háromszög magasságpontja!
• 4.11. probléma* (a könyv 133. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük egyik csúcsának a távolságát a magasságponttól, a súlyponttól és a körülírt kör középpontjától!
• 4.12. probléma* (a könyv 134. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adva van egy oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a hossza, valamint tudjuk, hogy az adott oldalon fekvő két belső szög közül az egyik kétszer akkora, mint a másik!
• 4.13. probléma* (ld. még 4.47; a könyv 135. oldalán): Szerkesszünk adott $ABC$ háromszög $AB$ oldalára merőlegesen olyan egyenest, amely felezi a háromszög területét!
• 4.14. probléma* (a könyv 136. oldalán): Adott $ABC$ háromszög köré szerkesszünk olyan adott $k$ kerületű $CDEF$ téglalapot, amelynek a $C$-t nem tartalmazó egy-egy oldala átmegy $A$-n, illetve $B$-n!
• 4.15. probléma* (a könyv 137. oldalán): Szerkesszünk olyan $ABCDE$ konvex ötszöget, amelyben $AB=CD$, $BC=ED$, $AC=BD=EC$, valamint a $BE$ átlót az $AC$ átló $90^\circ$-os, az $AD$ átló pedig $75^\circ$-os szögben metszi!
• 4.16. probléma* (ld. még 4.17; a könyv 138. oldalán): $A$ és $B$ két adott pont a síkon. Csak körzővel szerkesszük meg az $AB$ szakasz felezőpontját!
• 4.17. probléma* (ld. még 4.16; a könyv 139. oldalán): $A$ és $B$ két adott pont a síkon. Tegyük fel, hogy egyetlen körző áll rendelkezésünkre és ezzel is csak egy bizonyos rögzített $r$ sugarú kört tudunk rajzolni, ahol $r>AB$. Szerkesszünk ezen körző segítségével olyan $C$ pontot a síkon, amellyel az $ABC$ háromszög szabályos!
• 4.23. probléma* (a könyv 144. oldalán): Az $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő belső szög nagysága $120^\circ$. A belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszai legyenek $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Mekkora a $C_1A_1B_1\angle$?
• 4.27. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 147. oldalán): Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
• 4.32. probléma* (a könyv 151. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy minden hegyesszögű $ABC$ háromszögben $${AM+BM+CM}={2(R+r)},$$ ahol $M$ a háromszög magasságpontja, $r$ a beírt, $R$ pedig a körülírt kör sugara!
• 4.33. probléma* (ld. még 4.32; a könyv 152. oldalán): Jelölje $R$, illetve $r$ a háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, $d_a$, $d_b$, $d_c$ pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól vett távolságait. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor $${{d_a}+{d_b}+{d_c}}={R+r}$$ Hogyan módosul az állítás, ha a háromszög tompaszögű?
• 4.34. probléma* (a könyv 154. oldalán): Milyen összefüggésnek kell fennállni a háromszög $a$, $b$ és $c$ oldala között ahhoz, hogy a háromszöget egyik oldalával párhuzamosan egyetlen egyenessel két egyenlő területű és egyben egyenlő kerületű részre lehessen bontani?
• 4.35. probléma* (ld. még 4.36, 4.37; a könyv 155. oldalán): Adott a síkban egy $P$ pont, továbbá az $x$, $y$, $z$ szakaszok. Szerkesszünk olyan $ABC$ szabályos háromszöget, amelyre $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$!
• 4.36. probléma* (ld. még 4.35, 4.37; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=3$, $PB=4$, $PC=5$. Mekkora a háromszög oldala?
• 4.37. probléma* (ld. még 4.35, 4.36; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$. Fejezzük ki a háromszög területét $x$, $y$ és $z$ segítségével!
• 4.45. probléma* (a könyv 162. oldalán): Egy szabályos tizenkétszög egymás után következő csúcsai $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{12}$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over {{A_1A_2}^2}}+{1 \over {{A_1A_6}^2}}}={4 \over {{A_1A_3}^2}}$$
• 4.49. probléma* (a könyv 164. oldalán): Az $ABCD$ húrnégyszögben fennáll az $AB+CD=BC$ egyenlőség. Igazoljuk, hogy az $A$, illetve a $D$ pontból húzott belső szögfelezők metszéspontja a $BC$ szakaszra esik!
• 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
• 4.54. probléma* (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét pedig $t$. Igazoljuk, hogy $$t \leq {{\sqrt{3}} \over 4} \cdot {{\left({{a+b+c} \over 3}\right)}^2}$$
• 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$
• 4.59. probléma* (ld. még 4.9; a könyv 176. oldalán): Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszainak hossza pedig $x$, $y$, $z$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over x}+{1 \over y}+{1 \over z}}>{{1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$$ teljesül!
• 4.61. probléma* (ld. még 4.60; a könyv 178. oldalán): Adott háromszögbe írjunk be legkisebb kerületű háromszöget!
• 4.63. probléma* (a könyv 182. oldalán): \mitem{a)} Adott hegyesszögű háromszögben van-e olyan pont, amelynek a háromszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális? \mitem{b)} Konvex négyszög síkjában van-e olyan pont, amelynek a négyszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális?\par
• 4.64. probléma* (a könyv 183. oldalán): Adott egy kör, és ennek egyik átmérőjén a középponttól egyenlő távolságra az $A$ és a $B$ pontok. $A$-ból egyenes úton elmegyünk a körig, onnan pedig $B$-be. Melyik a legrövidebb, és melyik a leghosszabb út?
• 4.66. probléma* (a könyv 185. oldalán): Az $a$ élhosszúságú szabályos tetraédernek különböző síkokra vett merőleges vetületei közül válasszuk ki azt, amelynek a területe a legnagyobb!
• 4.67. probléma* (a könyv 185. oldalán): Adott a térben az $ABC$ és az $A_1B_1C_1$ háromszög. Tekintsük az összes olyan $MM_1$ távolságot, ahol $M$ az $ABC$, $M_1$ pedig az $A_1B_1C_1$ zárt háromszöglap valamely pontja. Bizonyítsuk be, hogy az összes $MM_1$ távolságok közül a legnagyobb megegyezik az $AA_1$, $AB_1$, $AC_1$, $BA_1$, $BB_1$, $BC_1$, $CA_1$, $CB_1$, $CC_1$ távolságok közül a legnagyobbal!
• 4.68. probléma* (a könyv 186. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy egy tetraéder bármely három magasságának szorzata nem nagyobb a tetraéder térfogatának hatszorosánál! Mikor teljesül egyenlőség?
• 4.69. probléma* (a könyv 187. oldalán): Az egységnyi élű kocka felületén halad egy zárt töröttvonal úgy, hogy ennek a kocka minden lapján van szakasza. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal hossza nem kisebb $3{\sqrt{2}}$-nél!
• 4.70. probléma* (ld. még 4.71; a könyv 188. oldalán): Igaz-e, hogy az egységnyi sugarú zárt körlemezen nem lehet ötnél több pontot úgy elhelyezni, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen?
• 4.71. probléma* (ld. még 4.70; a könyv 188. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a $10$ egység sugarú zárt körlemezen nem lehet $450$ pontot elhelyezni úgy, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen!
• 4.72. probléma* (a könyv 188. oldalán): A síkban elhelyeztünk $4$-nél nem kevesebb pontot úgy, hogy bármely három pont által meghatározott háromszög területe $1$-nél kisebb. Mutassuk meg, hogy van olyan $4$-nél kisebb területű háromszög, amely az összes pontot lefedi!
• 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
• 4.74. probléma* (ld. még 4.73, 4.75; a könyv 191. oldalán): Hány részre osztja a teret $n$ darab olyan sík, amelyek közül bármely háromnak van közös pontja, de semelyik négy $($vagy több$)$ síknak nincs közös pontja?
• 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
• 4.76. probléma* (a könyv 194. oldalán): \mitem{a)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab körvonal? \mitem{b)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab háromszög?\par
• 4.77. probléma* (ld. még 4.74; a könyv 194. oldalán): Adott $n$ sík, amelyek mindegyike tartalmazza a $P$ pontot, de semelyik három síknak nincs közös egyenese. Hány részre osztják ezek a síkok a teret?
• 4.78. probléma* (a könyv 195. oldalán): Elhelyezhető-e a síkban \mitem{a)} hat, \mitem{b)} nyolc, \mitem{c)} hét \par\noindent szakasz úgy, hogy mindegyik szakasz pontosan három másikat messen?
• 4.85. probléma* (ld. még 4.83, 4.84, 4.86; a könyv 202. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy egy kivételével mind egy körre illeszkednek. Határozzuk meg azon körök számát, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek!
• 4.87. probléma* (ld. még 4.88; a könyv 203. oldalán): Adott a síkon háromnál több, de véges sok pont úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy egyenesre. Lehet-e minden esetben olyan kört találni, amely legalább három adott ponton átmegy, és amelynek belsejében egy sincs az adott pontok közül?
• 5.1. probléma* (ld. még 5.2; a könyv 211. oldalán): {\rm Három kocka problémája.} Toscana hercege levelet írt Galileo Galileinek, melyben a következő problémát vetette fel, és várta a tudós válaszát. Abban az időben sokat kockáztak, feldobtak egyszerre három dobókockát, és nézték a három kockán dobott számok összegét. Összeszámolták, hogy az összeg hatféleképpen lehet $9$ $(1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3)$ és ugyancsak hatféleképpen lehet $10$ $(1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4)$. Mégis játék közben azt tapasztalták, hogy az összeg gyakrabban lesz $10$, mint $9$. Vajon miért mond ellent a számolás a tapasztalatnak?
• 5.5. probléma* (ld. még 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 5.8; a könyv 214. oldalán): Az $A$ esemény valószínűsége $3/4$, a $B$ eseményé $2/3$. Legyen $p$ annak a valószínűsége, hogy $A$ is és $B$ is bekövetkezik. Adjuk meg $p$ lehetséges legkisebb és legnagyobb értékét!
• 5.13. probléma* (ld. még 5.14, 5.15; a könyv 219. oldalán): {\rm Efron kockái. (Bradley Efron stanfordi statisztikus fedezte fel a következő kockákat, a játék Martin Gardner {\rm Mathematical Games} című rovatában jelent meg a {\it Scientific American} 1970 decemberi számában)} \par Az \aref{pk01}.\ ábrán látható az $A$, $B$, $C$, $D$ kockák hálója, a kockák minden lapján egy-egy szám. Te meg én azt a játékot játsszuk, hogy először Te választasz egy kockát, aztán én, mindketten feldobjuk a kockánkat, és az nyer, aki nagyobb számot dob. Kinek nagyobb a nyerési esélye?
• 5.14. probléma* (ld. még 5.12, 5.14; a könyv 220. oldalán): Elhelyezhetők-e $1$-től $18$-ig az egész számok egy piros, egy kék és egy zöld kocka lapjain úgy, hogy minden szám pontosan egyszer szerepeljen, és $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a piros kockával nagyobb számot dobunk, mint a kékkel, $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a zölddel, mégis $1/2$-nél nagyobb legyen annak a valószínűsége, hogy a zöld kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal.
• 5.15. probléma* (ld. még 5.13, 5.14; a könyv 220. oldalán): Egy közvéleménykutatás során egy társaság tagjait megkérték, hogy mondják el, milyen sorrendben kedvelik a következő sportágakat: tenisz, foci, kosárlabda. Ezután véletlenszerűen választva egy embert, \hbox{$1/2$-nél} nagyobb az esély, hogy jobban kedveli a teniszt, mint a focit, $1/2$-nél nagyobb az esély hogy jobban kedveli a focit, mint kosárlabdát, és $1/2$-nél nagyobb az esély, hogy jobban kedveli a kosárlabdát, mint a teniszt. Lehetséges ez, vagy tévedtek?
• 5.16. probléma* (ld. még 5.10; a könyv 221. oldalán): Egy kukoricapelyhet úgy akarnak népszerűbbé tenni, hogy minden dobozba belecsomagolnak egy mesefigurát. Hatféle mesefigura van, mindegyikből ugyanannyi, és mindegyikből nagyon sok, így feltehetjük, hogy akármikor veszünk egy dobozt, abban egyforma valószínűséggel lehet a hat figura valamelyike. A hónap eleji nagy bevásárláskor $15$ doboz kukoricapelyhet vásároltunk. Mennyi a valószínűsége a következő eseményeknek? \mitem{(a)} Mindegyik dobozban ugyanolyan figura van. \mitem{(b)} Valamelyik figurából $10$ db-ot kaptunk, a többiből egyet-egyet. \mitem{(c)} Valamelyik figurából $5$ db-ot kaptunk, a többiből $2-2$-t. \mitem{(d)} Valamelyik figurából $4$ db-ot kaptunk, egy másikból $3$-t, a többiből $2-2$-t. \mitem{(e)} Mindegyik figurából legalább $2$ db-ot kaptunk.\par
• 5.17. probléma* (a könyv 223. oldalán): Véletlenszerűen választva a gyöngyök sorrendjét $3$ fehér és $5$ piros gyöngyből nyakláncot fűzünk. Mi a valószínűsége, hogy két fehér gyöngy nem lesz egymás mellett? \par\noindent András megoldása. {\rm Számoljuk meg, összesen hányféleképpen fűzhetők fel a gyöngyök. Először eltervezzük a fehérek helyét, és a fehér gyöngyök által meghatározott három ívre tesszük rá a pirosakat. Erre $5$ lehetőség van: $0+0+5;\ 0+1+4;\ 0+2+3;\ 1+1+3;\ 1+2+2$. Ezek közül kettő olyan, amikor két fehér gyöngy közé mindig kerül piros, így a keresett valószínűség: $2/5$.} \par\noindent Béla megoldása. {\rm Ha egy szakaszon kellene elhelyezni a gyöngyöket, akkor ${{8!}/({5!\cdot3!})}$ lehetőség volna, hiszen a $8$ gyöngyből $5$ illetve $3$ egyforma. A nyaklánc körbe fordulhat, $8$ helyen vághatom szét, hogy egyenes legyen, így az előző esetszámot osztani kell $8$-cal, vagyis $7$-féle nyaklánc fűzhető. Most azt számoljuk ki, hányféleképpen kerülhet két fehér gyöngy egymás mellé. Tekintsük egynek a két fehér gyöngyöt, ekkor a nyakláncon a gyöngyök összes lehetséges sorrendje $(1/7)\cdot({7!}/{5!})-1=5$, hiszen most az egy fehér különbözik a két fehértől, kivéve azt az egy esetet, amikor egymás mellett vannak. Így $7-5=2$ esetben nincs egymás mellett két fehér, vagyis a keresett valószínűség $2/7$. } \par\noindent Melyikük megoldását fogadjuk el?
• 5.18. probléma* (a könyv 223. oldalán): \mitem{(a)} Gabi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ különböző pár kesztyű van. Síelni indul, és véletlenszerűen kivesz $8$ darab kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki? \mitem{(b)} Zsuzsi fiókjában nagy összevisszaságban $8$ egyforma pár kesztyű van. Induláskor véletlenszerűen kivesz $8$ kesztyűt. Mi a valószínűsége, hogy van közöttük legalább egy összeillő pár? Hogyan változik ez a valószínűség, ha $8$ helyett $9$, illetve $6$ darab kesztyűt vesz ki?\par
• 5.23. probléma* (a könyv 226. oldalán): Négy piros, három fehér és két kék golyót találomra egymás mellé téve mi a valószínűsége annak, hogy fehér golyók nem kerülnek egymás mellé? \par\noindent András megoldása. {\rm A golyók összes lehetséges sorrendje: $${{9!}\over{4! 3!2!}}=4\cdot5\cdot7\cdot9=1260.$$ A kedvező eseteket úgy számoljuk össze, hogy először sorbarakjuk a nem fehér golyókat, jelük $o$, ezt ${{6!}/(4!2!)}=15$-féleképpen tehetjük, utána ezek közé, elé, mögé a \hbox{$\oszt$-val} jelölt helyek közül háromra elhelyezzük a három fehér golyót $(\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt o\oszt)$. $7$ helyre $3$ egyforma golyót $\left(7\atop3\right)=35$-féleképpen helyezhetünk, így a kedvező esetek száma $15\cdot35=3\cdot5^2\cdot7.$ A keresett valószínűség: $${{3\cdot5^2\cdot7}\over{4\cdot5\cdot7\cdot9}}={5\over{3\cdot4}}={5\over{12}}.$$} \par\noindent Béla megoldása. {\rm A vizsgált esemény komplementerének a valószínűségét számoljuk ki, vagyis azt, hogy mekkora eséllyel van két fehér golyó egymás mellett. A két fehér golyót egynek vesszük, így a kedvező esetek száma ${{8!}/(4!\cdot2!)},$ mert $4$ piros, $2$ kék, $1$ dupla fehér, $1$ szimpla fehér golyónk van. Az összes eset most is ${{9!}/(4!\cdot3!\cdot2!)}$, így a keresett valószínűség: $$1-{\displaystyle{{8!}\over{4!\cdot2!}}\over\displaystyle{{9!}\over{4! \cdot3!\cdot2!}}}=1-{{8!\cdot3!}\over{9!}}=1-{2\over3}={1\over3}.$$} \par\noindent Kinek a megoldását fogadjuk el? Miért?
• 5.32. probléma* (ld. még 5.30; a könyv 231. oldalán): Egy Jack nevű tengerész balga módon megsértette két társát Billt és Bobot, akik ezért párbajozni akarnak vele. Jack kiváló rábeszélő képességével elérte, hogy ne mindketten rá lőjenek, hanem mindenki lőhessen mindenkire, aki megsérül, az kiáll. Jack, Bill és Bob egy egyenlő oldalú háromszög három csúcsában helyezkednek el, kisorsolják, hogy ki lő először, utána az óramutató járása szerint következnek lövésre a még ép résztvevők. Állapítsuk meg, hogy kinek mennyi esélye van arra, hogy sértetlenül megússza a párbajt, ha Jack $50$\%-os, Bob $80$\%-os, Bill $100$\%-os valószínűséggel talál célba?
• 5.33. probléma* (ld. még 5.32, 5.34; a könyv 232. oldalán): Ernő teniszkarrierjét biztosítandó, az apja díjat ajánlott fel, ha megnyer két egymás utáni meccset egy hármas sorozatból, melyet felváltva játszik az apjával és a klub bajnokával $($aki jobb az apánál$)$. Ernő választhat, hogy bajnok-apa-bajnok vagy apa-bajnok-apa sorozatot játszik. Melyiket válassza?
• 5.34. probléma* (ld. még 5.32, 5.33; a könyv 234. oldalán): Albert és Botond olyan érmével játszanak, amelyen a fej dobásának a valószínűsége $p$ $(0<p<1)$. Ismételten dobálják az érmét, amíg az FFF vagy az FIF sorozat valamelyike meg nem jelenik. Ha FFF előbb jön ki, mint az FIF, akkor Albert nyer, ha pedig az FIF jelenik meg előbb, mint FFF, akkor Botond nyer. A $p$ milyen értékére igazságos a játék?
• 5.35. probléma* (ld. még 5.36, 5.37, 5.38; a könyv 234. oldalán): A legegyszerűbb kétszemélyes játék az, hogy ha feldobnak egy pénzdarabot, és $A$ nyer, ha fej, $B$, ha írás. Egy másik gyakori verzió, ha mindketten feldobnak egy-egy pénzdarabot, $A$ nyer, ha két fej, vagy két írás jön ki, egyébként $B$ a nyerő. Ezt az utóbbi eljárást általánosíthatjuk: három emberből véletlenszerűen kiválasztható a nyerő: mindenki feldob egy-egy pénzérmét, ha $1$ fej, $2$ írás, vagy $1$ írás, $2$ fej jön ki, akkor az nyer, aki a fejet, illetve az írást dobta, más esetben újra dobnak. Ha $n$ játékos van, mindenki feldob egy-egy érmét, ha $1$ fej és $n-1$ írás, vagy $1$ írás és $n-1$ fej jön ki, akkor az nyer, aki az egy fejet, illetve az egy írást dobta, más esetben újra dobnak. A kérdésünk a következő: $n(>2)$ játékos esetén mi a valószínűsége annak, hogy a játék az első dobásnál véget ér?
• 5.36. probléma* (ld. még 5.35, 5.37, 5.38; a könyv 235. oldalán): Ha az előbbi játékot három barátommal együtt négyen játsszuk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy én nyerek? A válasz az, hogy a szimmetria-elv alapján az én nyerési esélyem ugyanannyi, mint társaimé, tehát mindegyikünké ${1/4}.$ Elfogadható-e ez a válasz?
• 5.42. probléma* (ld. még 5.43, 5.44; a könyv 238. oldalán): Véletlenszerűen rajzolva egy háromszöget, mi a valószínűsége, hogy a háromszög tompaszögű?
• 5.43. probléma* (ld. még 5.42, 5.44; a könyv 242. oldalán): Mi a valószínűsége, hogy $x$, $y$ két pozitív $1$-nél kisebb szám az $1$-gyel együtt egy tompaszögű háromszög oldalai?
• 5.44. probléma* (ld. még 5.43, 5.42; a könyv 243. oldalán): Egy $P$ pontot véletlenszerűen választunk egy egyenlő oldalú háromszögben. $P$-ből merőlegest bocsátunk az oldalakra, melyek talppontjai $X$, $Y$, $Z$ $($\aref{pk27}.\ ábra$)$. Mi a valószínűsége, hogy a $PX$, $PY$, $PZ$ szakaszok háromszöget határoznak meg?
• 5.45. probléma* (a könyv 243. oldalán): Egy adott körön találomra választjuk az $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ pontokat $($\aref{pk28}.\ ábra$)$. Mennyi a valószínűsége, hogy az $ABC$ háromszög és a $DEF$ háromszög idegenek?
• 6.2. probléma* (ld. még 6.1, 6.3; a könyv 251. oldalán): Van-e olyan $K$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over2}+ \cdots+{1\over n}<K?$$
• 6.5. probléma* (ld. még 6.2, 6.3; a könyv 254. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq2$ akkor $$2\sqrt{n+1}- 2\sqrt n< {1\over{\sqrt n}}<2\sqrt n-2\sqrt{n-1}.$$ \mitem{b)} Keressünk olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre $$1999<1+{1\over\sqrt2}+{1\over\sqrt3}+\cdots+{1\over\sqrt n}<2000.$$
• 6.6. probléma* (ld. még 6.2; a könyv 255. oldalán): Van-e olyan $k$ és $K$ szám, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $k\leq n\sin n\leq K?$
• 6.8. probléma* (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 256. oldalán): Igazoljuk, hogy bármely háromszögben található két olyan oldal, melyek hosszai különbségének abszolút értéke kisebb, mint a kerület hatodrésze.
• 6.12. probléma* (ld. még 6.1; a könyv 263. oldalán): $A$ és $B$ teniszeznek. Egy szetet játszanak. A szetnek akkor van vége, amikor valamelyikük legalább hat játékot nyer úgy, hogy a másik legalább kettővel kevesebbet nyer. A győztes a labdáknak legalább hány százalékát nyerte meg?
• 6.19. probléma* (a könyv 270. oldalán): Legyen $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$; $p_1,p_2,\ldots,p_n$ pozitív számok, $p_1+p_2+\cdots+p_n=1.$ Mutassuk meg, hogy $$G=a_1^{p_1}a_2^{p_2} \cdots a_n^{p_n}\leq p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n=A.$$
• 6.20. probléma* (ld. még 6.1, 6.8, 6.14, 6.18; a könyv 270. oldalán): Az a feladatunk, hogy $\sqrt5$-öt határozzuk meg elég nagy pontossággal. Tekintsünk előbb egy közelítő értéket, legyen $a_1=2.$ Ekkor létezik olyan $b_1$, hogy $2+b_1=\sqrt5.$ Innen $b_1^2+4b_1-1=0,$ azaz $b_1=(-4\pm\sqrt{16+4})/2=-2\pm \sqrt5.$ \'Igy $b_1$-hez éppen a keresett $\sqrt5$-öt kellene megállapítani. Gondoljunk ezért arra, hogy közelítést végzünk, és abban bízunk, hogy nem követünk el nagy hibát. Vegyük figyelembe, hogy $|b_1|<1,$ ezért úgy érezzük, hogy $b_1^2$ \idez{kicsi}, hagyjuk el. Ekkor $b_1={1/4}.$ Legyen ezért $a_2=2,25.$ Ehhez van olyan $b_2,$ hogy $a_2+b_2=\sqrt5.$ Ismét négyzetre emelve és $b_2^2$-et elhagyva azt kapjuk, hogy $$b_2={{5-a_2^2}\over {2a_2}}=-{1\over{72}}.$$ Folytassuk ezt az eljárást!
• 6.22. probléma* (ld. még 6.12; a könyv 272. oldalán): Tegyük fel, hogy az $\{a_n\}$ sorozat elemei benne vannak a $(0,1)$ intervallumban. Anna úgy látja, hogy ha valaki az $n$-edik lépésben $a_n$ méter utat tesz meg, akkor bármilyen messze el tud jutni a kiinduló ponttól, ha elegendően sok lépést tesz meg. Domokostól $1$ méterre van egy megrakott asztal. Első lépésben Domokos $a_1\cdot1$ méter utat tesz meg, a második lépésben $a_2(1-a_1 \cdot1)$ utat, a harmadikban $a_3(1-d_2)$ utat, ahol $d_2$ jelenti a Domokos által első két lépésben megtett utat, és így tovább, az $n$-edik lépésben megtett út: $a_n(1-d_{n-1}),$ ahol $d_{n-1}$ jelenti a Domokos által az első $n-1$ lépésben megtett utat. Eljut-e Domokos az asztalhoz?
• 6.23. probléma* (a könyv 273. oldalán): Van egy furcsa lyukasztónk: Ha a sík egy pontját ezzel kilyukasztjuk, az összes olyan pontot is eltünteti, amelyik irracionális távolságra van ettől a ponttól. Hány lyukasztással tudjuk a sík összes pontját eltüntetni?
• 6.25. probléma* (ld. még 6.26; a könyv 276. oldalán): Tekintsük a következő függvényt: $$f\colon\nn^+\rightarrow \nn^+,\quad f(n)= \left[n+\sqrt n+{1\over2}\right].$$ Milyen pozitív egész $m$ számokat nem vesz fel ez a függvény?
• 6.27. probléma* (a könyv 281. oldalán): \mitem{a)} Keressük meg az összes olyan $f\colon\nn\rightarrow \nn$ függvényt, amelyre $f(1)=1,$ és minden $x,y\in \nn$ esetén $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{b)} Ha $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=ax^2+bx+c$, akkor milyen $a,b,c\in \rr$ esetén teljesül minden $x,y\in \rr$-re $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{c)} Melyek azok a differenciálható $f\colon\rr\rightarrow \rr$ függvények, amelyek esetén $f(1)=1$ és minden $x,y\in \rr$-re $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{d)} Tegyük fel, hogy $f\colon\rr\rightarrow \rr,$ az $f$ függvény folytonos a $0$ pontban, és minden $x,y\in \rr$ esetén $f(x+y)=f(x)+ f(y)+xy.$ Mi lehet az $f$ függvény?\par