1 nehézségi fokú problémák:

• 1.19. probléma (ld. még 1.20; a könyv 17. oldalán): Mi az esélye annak, hogy egy játékos a lottón $($ahol $5$ számot kell eltalálni $90$-ből$)$ egy szelvénnyel játszva $5$-ös találatot érjen el?
• 1.20. probléma (ld. még 1.19; a könyv 19. oldalán): A kenó esetén $80$ számból lehet $1$-et, $2$-et, $\ldots$, vagy $10$-et bejelölni, és $10$ számot húznak ki. Az $\the\chap.1.$\ táblázat szerint $($ahol az oszlopokban a szelvényen bejelölt számok száma, a sorokban pedig a találatok száma szerepel$)$ a találatok száma alapján a tét összegének valahányszorosát nyeri vissza a játékos. Ahol a táblázat nincs kitöltve, ott a játékos nem nyer semmit. Számítsuk ki, hogy mekkora a visszanyert összeg várható értéke!
• 2.1. probléma (ld. még 2.2, 2.3; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a).$$
• 2.2. probléma (ld. még 2.1, 2.3, 2.4, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2.$$
• 2.3. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.4, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bz-cy)^2+(cx-az)^2+ (ay-bx)^2.$$
• 2.4. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$\eqalign{&(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+u^2)-(ax+by+cz+du)^2\cr &=(ay-bx)^2+ (az-cx)^2+(au-dx)^2+(bz-cy)^2+(bu-dy)^2+(cu-dz)^2.\cr}$$
• 2.5. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.4; a könyv 21. oldalán): \'Irjunk fel olyan azonosságot, amelynek speciális eseteként adódik a \prob{pl5}., \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ példa. Igazoljuk is a felírt azonosságot!
• 2.6. probléma (ld. még 2.2, 2.5; a könyv 22. oldalán): A \prob{pl5}.\ példából következik, hogy tetszőleges $a$, $b$, $x$, $y$ valós számok esetén $$(ax+by)^2\leq(a^2+b^2)(x^2+y^2).$$ Fogalmazzunk meg hasonló egyenlőtlenségeket a \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ és a \prob{pl8}.\ példa azonosságainak a felhasználásával.
• 2.7. probléma (ld. még 2.8, 2.9; a könyv 22. oldalán): Igazoljuk, hogy $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc- ca).$$
• 2.8. probléma (ld. még 2.7, 2.9; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy $$ (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c) (c+a)=2(a^3+b^3+c^3-3abc).$$
• 2.10. probléma (ld. még 2.9; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $$x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2=x+y+z=1,$$ akkor $xyz=0$.
• 2.11. probléma (a könyv 24. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $$a_1^2+b_1^2=1,\quad a_2^2+b_2^2=1,\quad a_1a_2+b_1b_2=0,$$ akkor $$a_1^2+a_2^2=1,\quad b_1^2+b_2^2=1,\quad a_1b_1+a_2b_2=0.$$
• 2.12. probléma (ld. még 2.9; a könyv 24. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, akkor $$nx^{n+1}- (n+1)x^n+1$$ osztható $(x-1)^2$-nel!
• 2.13. probléma (a könyv 25. oldalán): Elő lehet-e állítani az $$xy(7x-2)(5y+2)$$ kifejezést $P^2(x,y)-Q^2(x,y)$ alakban, ahol $P$ és $Q$ az $x$ és $y$ polinomja és az együtthatók egész számok?
• 2.14. probléma (ld. még 2.9; a könyv 25. oldalán): \'Irjuk egyszerűbb alakba a következő törteket $($anélkül, hogy külön kiírnánk, kizárjuk azokat az értékeket, ahol a nevező $0)$: {\openup\jot \mitem{a)} $\displaystyle{1\over{(a+b)^2}}{\left({1\over{a^2}}+{1\over{b^2}}\right)}+ {2\over{(a+b)^3}}{\left({1\over a}+{1\over b}\right)}$ \mitem{b)} $\displaystyle{{a+b}\over{ax+by}}+{{a-b}\over{ax-by}}+{{2(a^2x+ b^2y)}\over{a^2x^2+b^2y^2}}-{{4(a^4x^3-b^4y^3)}\over{a^4x^4- b^4y^4}}$ \mitem{c)} $\displaystyle{a\over{a^3+a^2b+ab^2+b^3}}+{b\over{a^3-a^2b+ab^2-b^3}} +{1\over{a^2-b^2}}-{1\over{a^2+b^2}}-{{a^2+3b^2}\over{a^4-b^4}}$ \mitem{d)} $\displaystyle{1\over{a(a-b)(c-a)}}+{1\over{b(a-b)(b-c)}}+{1\over {c(c-a)(b-c)}}$ \mitem{e)} $\displaystyle{{a^2-b^2}\over{(a+b)^2}}+{{b^2-c^2}\over{(b+c)^2}}+ {{c^2-a^2}\over{(c+a)^2}}$ \mitem{f)} $\displaystyle{{bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{ca}\over{(b+c)(b+a)}}+ {{ab}\over{(c+a)(c+b)}}+{{2abc}\over{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ \mitem{g)} $\displaystyle{{a^2-bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{b^2-ac}\over{(b+ c)(b+a)}}+{{c^2-ab}\over{(c+a)(c+b)}}$ \mitem{h)} $\displaystyle{{(a-x)(a-y)(a-z)}\over{(a-b)(a-c)}}+{{(b-x)(b- y)(b-z)}\over{(b-c)(b-a)}}+{{(c-x)(c-y)(c-z)}\over{(c- a)(c-b)}}$\par}
• 2.16. probléma (ld. még 2.15; a könyv 27. oldalán): Legyen $$\eqalign{s_n&={{a^n}\over{(a-b)(a-c)(a-d)}}+{{b^n}\over{(b-a) (b-c)(b-d)}}\cr &\qquad+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)(c-d)}}+{{d^n}\over{(d-a) (d-b)(d-c)}}.\cr}$$ Mutassuk meg, hogy $s_0=s_1=s_2=0$, $s_3=1$, $s_4=a+b+c+d.$
• 2.18. probléma (ld. még 2.9; a könyv 28. oldalán): \'Irjuk fel egyszerűbb alakban a következő kifejezéseket: {\openup\jot \mitem{a)}$\displaystyle{n^3-3n-2+(n^2-1)\sqrt{n^2-4}\over n^3-3n+ 2+(n^2-1)\sqrt{n^2-4}}$ \mitem{b)} $\displaystyle\left({ \sqrt{1+x}\over\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}}+{1-x\over\sqrt{1-x^2}-1+x}\right) \left(\sqrt{{1\over x^2}-1}-{1\over x}\right)$. Itt azt tesszük fel, hogy $0<x<1$. \mitem{c)} $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$ Itt legyen $x\geq 1$.\par}
• 2.22. probléma (ld. még 2.23; a könyv 31. oldalán): Határozzunk meg \mitem{a)} olyan öt egymás után következő pozitív egész számot, amelyek összege teljes négyzet és teljes harmadik hatvány; \mitem{b)} olyan négy egymás után következő pozitív egész számot, amelyek összege teljes négyzet és teljes harmadik hatvány; \mitem{c)} olyan három egymás után következő pozitív egész számot, amelyek összege teljes négyzet és teljes harmadik hatvány.\par
• 2.23. probléma (ld. még 2.22; a könyv 31. oldalán): Lehet-e négyzetszám $2^n+3^n$, ha $n\in \nn$?
• 2.25. probléma (ld. még 2.20; a könyv 32. oldalán): Igaz-e, hogy ha két racionális szám összege és szorzata is egész szám, akkor e számok egész számok?
• 2.26. probléma (a könyv 33. oldalán): Léteznek-e olyan $x$, $y$ irracionális számok, hogy $x^y$ racionális legyen?
• 2.27. probléma (a könyv 33. oldalán): Nyolc egymás után következő pozitív egész szám szorzata lehet-e teljes negyedik hatvány?
• 2.29. probléma (a könyv 34. oldalán): Tekintsük a $7^{972}$ számot a tizes számrendszerben. A szám első jegyét töröljük, és ezt a számjegyet hozzáadjuk a maradék számhoz. $($Ilyen eljárással pl. $235$-ből $35+2=37$ lesz.$)$ Addig folytatjuk ezt az eljárást, míg egy tízjegyű számot kapunk. Lehetséges-e, hogy mind a tíz jegy különböző legyen?
• 2.31. probléma (a könyv 36. oldalán): Állapítsuk meg $2n+3$ és $n+7$ legnagyobb közös osztóját, ha $n\in \nn.$
• 2.32. probléma (a könyv 36. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy $n^2+3n+5$ egyetlen $n$ természetes szám esetén sem osztható $121$-gyel.
• 2.33. probléma (ld. még 2.28; a könyv 36. oldalán): Igaz-e, hogy végtelen sok olyan természetes szám van, amelyik nem állítható elő $p+m^2$ alakban, ahol $p$ prímszám, $m$ pedig természetes szám?
• 2.34. probléma (ld. még 2.35, 2.36; a könyv 37. oldalán): Mutassuk meg, hogy minden $n$ természetes szám esetén : {\openup\jot \mitem{a)} $9\oszt 4^n+15n-1;$ \mitem{b)} $27\oszt 10^n+18n-1;$ \mitem{c)} $64\oszt 3^{2n+3}+40n-27;$ \mitem{d)} $169\oszt 3^{3n+3}-26n-27;$ \mitem{e)} $25\oszt 2^{n+2}3^n+5n-4;$ \mitem{f)} $64\oszt 4\cdot3^{2n+2}+32n-36.$\par}
• 2.41. probléma (a könyv 41. oldalán): Három tanuló, $A$, $B$ és $C$, néhány tárgy mindegyikéből versenyt vív egymással. Egy-egy első, második, illetve harmadik helyért $x$, $y$ illetve $z$ pont jár, ahol $x$, $y$, $z$ pozitív egész számok és $x>y>z.$ Holtverseny nincs. Az $A$ tanuló $20$, a $B$ $10,$ a $C$ pedig $9$ pontot szerzett. Az $A$ tanuló algebrából második lett. Geometria tárgy is volt a versenyen. Az adatok alapján meg tudjuk-e mondani, hogy ki lett a második geometriából?
• 2.42. probléma (ld. még 2.40; a könyv 41. oldalán): Van-e az $$a^3+4a=b^2$$ egyenletnek pozitív egész $a$, $b$ számokból álló megoldása?
• 2.46. probléma (ld. még 2.47; a könyv 45. oldalán): Ha $p$ és $q$ különböző prímszámok, akkor igaz-e, hogy végtelen sok $n$ természetes szám esetén lesz $(p+n,q+n)=1$?
• 2.53. probléma (a könyv 50. oldalán): Jancsi gondolt egy egész számot $1$ és $31$ között. Pista feltehet Jancsinak kilenc kérdést. A kérdések olyanok, hogy mindegyikre a válasz \idez{igen}, vagy \idez{nem}. Jancsi egy kérdésre hamis választ adhat. Milyen kérdéseket tegyen fel Pista, hogy ki tudja találni azt a számot, amire Jancsi gondolt?
• 2.54. probléma (ld. még 2.55; a könyv 50. oldalán): \'Irjuk le az $$x^2+y^2=(x-y)^3$$ egyenlet összes $x$, $y$ egész számokból álló megoldását.
• 2.60. probléma (ld. még 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 54. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ egy derékszögű háromszög oldalai $a$, $b$ a két befogó, $c$ az átfogó, akkor $a^2+b^2=c^2.$ Az $$x^2+y^2= z^2$$ egyenlet $a, b, c\in \nn^+$ megoldását pitagoraszi számhármasnak nevezzük. Ha itt $(a,b)=1,$ akkor $(a,c)=1$ és $(b,c)=1$ is teljesül. Az olyan $a$, $b$, $c$ pitagoraszi számhármast, amelyben szereplő bármely két szám legnagyobb közös osztója $1,$ alapmegoldásnak, vagy primitív megoldásnak nevezzük. $($Az előbbi megjegyzés szerint elegendő persze kikötni például azt, hogy $(a,b)=1.)$ Könnyű belátni, hogy az alapmegoldások ismeretében az összes megoldást ismerjük. Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet alapmegoldása, akkor $a$ és $b$ közül pontosan egyik páros szám!
• 2.63. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62; a könyv 55. oldalán): Az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet összes $x=a$, $y=b$, $z=c$ megoldása, ahol $a, b, c\in \nn^+,$ $a$ páros szám és $a$, $b$, $c$-nek nincs $1$-nél nagyobb közös osztója, megadható az $$a=2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2$$ alakban, ahol $m, n\in \nn^+$, $(m,n)=1$, $m>n$ és nem mindkettő páratlan.
• 2.64. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 56. oldalán): A következő táblázat néhány alapmegoldást szolgáltat: $$\matrix{ m & n & a & b & c \cr 2 & 1 & 4 & 3 & 5 \cr 3 & 2 & 12 & 5 & 13 \cr 4 & 1 & 8 & 15 & 17 \cr 4 & 3 & 24 & 7 & 25 \cr 5 & 2 & 20 & 21 & 29 \cr 5 & 4 & 40 & 9 & 41 \cr 6 & 1 & 12 & 35 & 37 \cr 6 & 5 & 11 & 60 & 61. \cr }$$ Ezekből a példákból azt vesszük észre, hogy \mitem{a)} $12\oszt ab$ és \mitem{b)} $a$, $b$, $c$ közül az egyik osztható $5$-tel.\par\noindent Vajon ezek az észrevételek érvényesek-e minden alapmegoldásra?
• 2.65. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64; a könyv 57. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket: $4^2+3^2=5^2$, $12^2+ 5^2=13^2$, $24^2+7^2=25^2$, $40^2+9^2=41^2$, $60^2+11^2=61^2$. Próbáljunk e példák, az ezekből leolvasható tulajdonságok alapján egy állítást megfogalmazni!
• 2.66. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64, 2.65; a könyv 57. oldalán): Az előző példában végtelen sok olyan pitagoraszi számhármast adtunk meg, amelyekben az egyik befogó és az átfogó szomszédos egész számok. Felsoroltuk-e az előbbi módon az összes ilyen tulajdonságú pitagoraszi számhármast?
• 2.67. probléma (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): Igaz-e, hogy $3$, $4$, $5$ az egyetlen olyan pitagoraszi számhármas, amely egymás után következő természetes számokból áll?
• 2.68. probléma (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): $3^2+4^2=5^2$, $20^2+21^2=29^2$, $119^2+120^2=169^2$, azaz ilyen alakúak: $a^2+(a+1)^2=c^2.$ Vajon végtelen sok természetes számokból álló olyan $a$, $c$ számpár létezik-e, amelyekre $$a^2+(a+1)^2= c^2.$$
• 2.72. probléma (ld. még 2.70; a könyv 63. oldalán): Pali ezt írta Petinek: \idez{Sikerült találnom az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek egy olyan megoldását, amelyben $x$, $y$, $z$, $n$ pozitív egész számok és $z<n.$} Peti megvakarta a fejét és ezt mondta: \idez{Nahát ez a Pali be akart engem csapni.} Miért gondolt Peti erre?
• 2.73. probléma (a könyv 64. oldalán): Legyen $p$ egy $2$-nél nagyobb prímszám. Bizonyítsuk be, hogy ${2/ p}$ egy és csak egy módon írható a $${2\over p} ={1\over x}+{1\over y}$$ alakban, ahol $x$ és $y$ egymástól különböző pozitív egész számok!
• 2.78. probléma (a könyv 66. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $\displaystyle{{x-ab}\over{a+b}}+{{x-ac}\over{a+c}}+ {{x-bc}\over{b+c}}=a+b+c$ \mitem{b)} $\displaystyle{{x-a}\over{bc}}+{{x-b}\over{ca}}+ {{x-c}\over{ab}}=2\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)$ \mitem{c)} $\displaystyle{{a+b-x}\over c}+{{a+c-x}\over b}+ {{b+c-x}\over a}+{{4x}\over{a+b+c}}=1$\par}
• 2.79. probléma (a könyv 68. oldalán): Melyik nagyobb $x$, vagy $y$, ha $$x+x^2+4x^3=y+y^2+y^3+y^4+4y^5=2.$$
• 2.80. probléma (ld. még 2.78; a könyv 69. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $(a^2-b^2)x^2-2ax+1=0;$ \mitem{b)} $\displaystyle{x-a\over x-b}+{x-b\over x-a}+2=0$ \mitem{c)} $\displaystyle{x\over x-a}-{{2a}\over x+a}={{8a^2}\over x^2-a^2}$ \mitem{d)} $\displaystyle{x-a\over x-b}-{x-b\over x-a}+{{4ab}\over a^2-b^2}=0$ \mitem{e)} $\displaystyle{(x-a)(x-c)\over (b-a)(b-c)}+{{(x-b)(x-c)}\over (a-b)(a-c)}=1,$ $a\not =b$, $b\not =c$, $c\not =a;$ \mitem{f)} $(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0;$ \mitem{g)} $\displaystyle{1\over x}+{1\over a}+{1\over b}={1\over x+a+b},$ $ab\not =0;$ \mitem{h)} $(c+a-2b)x^2+(a+b-2c)x+b+c-2a=0;$ \mitem{i)} $\displaystyle{a\over a+x}+{b\over b+x}={{(a+b)^2} \over ab}$, $ab\not =0;$ \mitem{j)} $a(a+1)x^2+x-a(a-1)=0.$\par}
• 2.81. probléma (ld. még 2.80; a könyv 70. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$ páronként különböző valós számok és $c\not=0.$ Igazoljuk, hogy ha az $x^2+ax+bc=0$ és az $x^2+bx+ca=0$ egyenletnek egy közös gyökük van, akkor a másik két gyök az $x^2+cx+ab=0$ egyenlet gyöke.
• 2.82. probléma (a könyv 71. oldalán): Adott az $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$, $n\in \nn^+,$ függvény, ahol az $a_i$ számok, $i=1,2,\ldots,n$, egészek. Tegyük fel, hogy az $f(x)=1$ egyenletnek van négy páronként különböző egész gyöke: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4.$ Létezik-e olyan $x_0$ egész szám, hogy $f(x_0)=-1$ legyen?
• 2.83. probléma (a könyv 71. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: \mitem{a)} $x^3-9x+8=0,$ \mitem{b)} $x^3-2x^2+3x-6=0,$ \mitem{c)} $6x^4+x^3-4x^2-4x+1=0.$\par
• 2.84. probléma (a könyv 72. oldalán): Legyenek $x_1$ és $x_2$ az $x^2-6x+1=0$ egyenlet gyökei. Mutassuk meg, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $x_1^n+x_2^n$ egész szám és nem osztható $5$-tel.
• 2.85. probléma (a könyv 72. oldalán): Oldjuk meg az $x^4+1=2(x+1)^4$ egyenletet.
• 2.89. probléma (a könyv 78. oldalán): Határozzuk meg az $${1\over{\sin 2x}}+{1\over{\sin 2^2x}}+\cdots+{1\over {\sin 2^nx}}$$ összeget, ha $x$ olyan, hogy $2^kx$ nem lesz a $\pi$ egész számú többszöröse, ha $1\leq k\leq n.$
• 2.90. probléma (a könyv 78. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: \mitem{a)} $\sin x+\cos x=2;$ \mitem{b)} $\sin x+\cos x=1;$ \mitem{c)} $2 \sin x+5 \cos x=3;$ \mitem{d)} $a \sin x+b \cos x=c$, $a^2+b^2>0.$\par
• 3.5. probléma (ld. még 3.4, 3.6, 3.7; a könyv 96. oldalán): Rögzítsünk egy tetszőleges $K$ számot. Mutassuk meg, hogy van olyan $n\in \nn^+,$ hogy $$1+{1\over2}+{1\over3}+\cdots+{1\over n}>K.$$
• 3.6. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.18, 3.21; a könyv 96. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+,$ akkor $$1+{1\over{2^2}}+{1\over{3^2}}+\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$
• 3.8. probléma (ld. még 3.9; a könyv 98. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\,b,\,c\in \rr^+,$ akkor $$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca.$$ Általánosítsuk a feladatot! \mitem{b)} Igazoljuk, hogy ha $a,\,b,\,c\in \rr^+,$ akkor $$3(a^2+b^2+c^2) \geq(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca).$$
• 3.17. probléma (a könyv 112. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy $$\log_2\,3+\log_3\,4+\log_4\,5+\log_5\,6>5.$$
• 3.18. probléma (ld. még 3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.21; a könyv 113. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a>b>0,$ akkor $n\in \nn^+$ esetén $$a^n(a-(n+1) (a-b))<b^{n+1}.$$
• 3.25. probléma (ld. még 3.9; a könyv 121. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a_i\in \rr$, $i=1,2,\ldots,n$; $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq{1\over n}.$$
• 3.26. probléma (a könyv 121. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ olyan valós számok, hogy $$a+ b+c+d+e=20;\quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=100.$$ Állapítsuk meg, hogy legfeljebb mekkora lehet $e$.
• 3.27. probléma (a könyv 122. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $a,\>b\in \rr^+$, $a+b=1,$ akkor $$\left(a+ {1\over a}\right)^2+\left(b+{1\over b}\right)^2\geq{{25}\over2}.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a,\>b, \>c,\in \rr^+$, $a+b+c=1,$ akkor $$\left(a+{1\over a}\right)^2+\left(b+ {1\over b}\right)^2+\left(c+{1\over c}\right)^2\geq K.$$ \mitem{c)} Mutassuk meg, hogy létezik olyan $K>0$ szám, hogy ha $a_1,a_2, \ldots,a_n\in \rr^+$, $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1+a_2+\cdots+a_n=1,$ akkor $$\left(a_1+ {1\over a_1}\right)^2+\left(a_2+{1\over a_2}\right)^2+\cdots+\left(a_n+ {1\over{a_n}} \right)^2\geq K.$$ Keressük meg $K$ lehetséges legnagyobb értékét.\par
• 3.28. probléma (a könyv 123. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív egész számok, $a+b+c+d=30,$ akkor mivel egyenlő az $abcd$ szorzat maximuma?
• 4.1. probléma (a könyv 127. oldalán): Hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyeknek egy derékszög két szárától vett távolságösszege egy adott szakasz hosszával egyenlő?
• 4.2. probléma (a könyv 127. oldalán): Hol helyezkednek el az $ABCD$ négyzet belsejében azok a $P$ pontok, amelyekre a $PAB$ háromszög területe fele a $PDA$ háromszög területének?
• 4.3. probléma (a könyv 127. oldalán): Adott egy kör és azon belül egy $P$ pont. Keressük azon körök középpontjainak halmazát, amelyek az adott kört érintik és az adott $P$ ponton mennek keresztül.
• 4.4. probléma (a könyv 127. oldalán): Adott egy síkban egy $e$ egyenes. Az $e$-t adott $A$ és $B$ pontjában érinti két egymást is érintő, az adott síkban fekvő kör. Változtassuk az érintő körök sugarát. Határozzuk meg a körök érintési pontjainak halmazát!
• 4.6. probléma (a könyv 130. oldalán): Egy egyenesen megadunk egy $P$ és az egyenesen kívül egy $A$ pontot. Szerkesszünk az egyenesen olyan $Q$ pontot, amelyre az $AQ+QP$ összeg egy előre adott szakasz hosszával egyenlő!
• 4.19. probléma (a könyv 142. oldalán): Egy adott derékszögű háromszög egyik befogójára emelt kör az átfogót $1:3$ arányban osztja. Megállapítható-e ebből az adatból a derékszögű háromszög további két szöge?
• 4.20. probléma (a könyv 142. oldalán): Az $ABC$ háromszög magasságvonalai az $M$ pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy $MC=AB$. Határozzuk meg a háromszög $C$ csúcsánál levő belső szöget!
• 4.21. probléma (ld. még 4.20; a könyv 142. oldalán): Határozzuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szögét, ha $C$-nek és a háromszög magasságpontjának a távolsága a körülírt kör sugarával egyenlő!
• 4.22. probléma (a könyv 143. oldalán): Állapítsuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöget, ha az $A$ pont a háromszöghöz hozzáírt, az $AB$ és a $BC$ oldalt érintő körök középpontjaitól egyenlő távolságra van!
• 4.24. probléma (a könyv 145. oldalán): Érintse az $ABC$ derékszögű háromszögbe írt kör az $AB$ átfogót a $D$ pontban. Igazoljuk, hogy a háromszög területe megegyezik annak a téglalapnak a területével, amelynek oldalai $AD$ és $BD$!
• 4.25. probléma (a könyv 145. oldalán): Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt köreinek középpontján átmenő kör sugara kétszerese a háromszög köré írt kör sugarának!
• 4.26. probléma (ld. még 4.27; a könyv 146. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög beírt körének sugara $r$, hozzáírt köreinek sugarai $r_a$, $r_b$, $r_c$, akkor $${1 \over r}={{1 \over r_a}+{1 \over r_b}+{1 \over r_c}}$$
• 4.29. probléma (ld. még 4.26, 4.27; a könyv 150. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a háromszög bármelyik magassága egyenlő a közrefogó oldalakhoz hozzáírt körök sugarának harmónikus közepével!
• 4.30. probléma (a könyv 150. oldalán): Az $ABC$ derékszögű háromszögben olyan $r$ sugarú félkört szerkesztünk, amelynek középpontja az $AB$ átfogón van, és érinti az $a$ és $b$ befogókat. Bizonyítsuk be, hogy $${1 \over r}={{1 \over a}+{1 \over b}}$$
• 4.31. probléma (a könyv 150. oldalán): Adott derékszögű háromszög befogói fölé rajzoljunk kifelé négyzeteket. Mutassuk meg, hogy a háromszög köré írható kör átmegy a négyzetek legtávolabbi csúcsait összekötő szakasz felezőpontján!
• 4.38. probléma (a könyv 157. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög magasságpontja és köré írt körének középpontja a háromszög egyik belső szögfelezőjére nézve szimmetrikusan helyezkedik el, akkor a háromszög egyik szöge $60^\circ$-os!
• 4.39. probléma (a könyv 157. oldalán): A hegyesszögű $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő szög $60^\circ$-os. A háromszög $B$-ből induló magasságának talppontja $D$, a $C$-ből induló magasság talppontja pedig $E$. Jelölje $M$ a háromszög magasságpontját, $O$ pedig a körülírt kör középpontját. Mutassuk meg, hogy az $OM$ egyenes felezi a $BME$ szöget!
• 4.40. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszög $AD$ súlyvonalának felezőpontja $F$. A $CF$ egyenes az $AB$ oldalt az $M$ pontban metszi. Határozzuk meg az $AM:MB$ arányt!
• 4.41. probléma (a könyv 159. oldalán): Tudjuk, hogy egy háromszögben az egyik csúcsból induló súlyvonal, belső szögfelező és magasságvonal a szöget négy egyenlő részre osztja. Mekkorák a háromszög szögei?
• 4.42. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszögön belül tetszőlegesen felvett $O$ ponton át húzzunk párhuzamosokat a háromszög oldalaival. Ezek az egyenesek a háromszöget hat részre osztják, ezek közül három háromszög. E háromszögekbe írt körök sugarai legyenek $r_1$, $r_2$, $r_3$, az $ABC$ háromszögbe írt kör sugara pedig legyen $r$. Mutassuk meg, hogy $r=r_1+r_2+r_3$!
• 4.43. probléma (a könyv 161. oldalán): Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magassága, amelyek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
• 4.44. probléma (a könyv 161. oldalán): Az $ABC$ háromszög $AC$ oldalának valamely $P$ pontján át húzzunk párhuzamosokat az $AK$ illetve $CL$ súlyvonalakkal. Ezek messék a $BC$ illetve $AB$ oldalt az $E$ illetve $F$ pontban. Mutassuk meg, hogy az $EF$ szakaszt az $AK$ és $CL$ súlyvonalak harmadolják!
• 4.46. probléma (a könyv 163. oldalán): Az $A$-ban derékszögű $ABC$ háromszögben $EF$ a $BC$-vel párhuzamos középvonal, $D$ pedig az $A$-ból kiinduló magasság talppontja. \mitem{a)}Bizonyítsuk be, hogy az $EDF$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak! \mitem{b)}Keressünk az átfogón olyan $D$-től különböző $M$ pontot, amelyre nézve az $EMF$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak!\par
• 4.47. probléma (ld. még 4.13; a könyv 163. oldalán): Milyen arányban kell az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogóját két részre osztanunk, ha azt szeretnénk elérni, hogy az osztási pontban az átfogóra emelt merőleges felezze a háromszög területét?
• 4.48. probléma (a könyv 164. oldalán): Rajzoljunk egy $2/\sqrt{3}$ egység oldalú szabályos hatszöget. Helyezzünk el a síkban egységnyi sugarú köröket úgy, hogy középpontjaik a hatszög belsejében legyenek. Mutassuk meg, hogy alkalmasan választott egységnyi oldalú szabályos háromszög csúcsaiban elhelyezett tűvel a körök mind rögzíthetők a síkhoz!
• 4.50. probléma (ld. még 4.51; a könyv 165. oldalán): Egységnyi oldalú szabályos háromszögbe beírunk három kört a \aref{kj94}.\ ábrán látható kétféle módon. Melyik esetben nagyobb a három kör által a háromszögből lefedett terület?
• 4.55. probléma (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Igazoljuk, hogy derékszögű háromszögben a hegyesszögek csúcsaiból kiinduló súlyvonalak négyzete összegének és a háromszögbe írt kör sugara négyzetének hányadosa nem kisebb $20$-nál!
• 4.60. probléma (a könyv 177. oldalán): Egy szög szárai között adott két pont. Szerkesszük meg azt a legrövidebb utat, amelyik az egyik pontból az egyik szögszárhoz, onnan a másik szögszárhoz, onnan pedig a másik ponthoz vezet!
• 4.65. probléma (a könyv 184. oldalán): Egy $C$ csúcsú konvex szögtartomány adott $P$ belső pontján átmenő egyenesek közül melyik vágja le a legkisebb területű háromszöget a szögtartományból?
• 5.2. probléma (ld. még 5.1; a könyv 211. oldalán): Három szabályos dobókockát feldobunk. \mitem{(a)}Mi a valószínűsége, hogy mindegyik dobott szám különböző? \mitem{(b)}Mi a valószínűsége, hogy nem mindegyik kocka mutatja ugyanazt a számot?\par
• 5.3. probléma (ld. még 5.4, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 212. oldalán): Az \aref{pk21}.\ ábrán látható két pörgettyű, melyekkel kétszer pörgetünk, mindkét alkalommal szabadon választva az $A$ ill.\ a $B$ pörgettyű közül. Akkor nyerünk, ha a nyíl által kijelölt színeket összekeverve lilát $($kék+piros$)$ kapunk. \mitem{(a)} Melyik pörgettyűt válasszuk az egyes pörgetésekhez, hogy a legnagyobb esélyünk legyen a győzelemre? \mitem{(b)} Most az első pörgetés eredményének ismeretében dönthetünk, hogy melyik pörgettyűt választjuk a második pörgetéshez. Hogyan érdemes választani először és másodszor?\par
• 5.4. probléma (ld. még 5.3, 5.5, 5.6, 5.7; a könyv 213. oldalán): Az \aref{pk22}.\ ábrán látható két pörgettyűt megpörgetve a kapott számokat összeszorozzuk, és keressük, hogy mekkora valószínűséggel lesz ez a szorzat páros. Egy tanuló ezt mondja: \idez{Egy szorzat páros, ha valamelyik tényezője páros, az első pörgettyűn ${2/3}$ valószínűséggel kapunk páros számot, a másodikon ${1/2}$ valószínűséggel, így a páros szorzat valószínűsége ${2/3}+{1/2}={7/6}>1$.} Mi a hiba?
• 5.6. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 214. oldalán): Öt darab $1-5$-ig számozott golyó van egy bögrében. András odamegy a bögréhez, és véletlenszerűen kivesz egy golyót. Utána jön Béla, ő is kivesz egy, az előzőtől különböző golyót. Mi a valószínűsége, hogy a két golyón levő számok összege páros?
• 5.7. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Egy játékban választhatunk, hogy egy szabályos dobókockával dobunk, és nyerünk, ha $6$-t dobtunk, vagy két kockával dobunk, és nyerünk, ha a kapott számok összege $6$. Melyiket válasszuk?
• 5.8. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10; a könyv 215. oldalán): Csaba a következő játékot javasolja Neked: \idez{Feldobtok két szabályos dobókockát. Ha a két szám szorzata páratlan, vagy $5$-tel osztható, akkor Te nyersz, különben Csaba nyer.} Kinek előnyösebb a játék, és mekkora a Te nyerési esélyed?
• 5.9. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.10, 5.11, 5.12; a könyv 216. oldalán): András és Botond egy-egy kockával dobnak, az nyer, aki nagyobb számot dob, ha egyformát dobnak, akkor döntetlen. Mi a valószínűsége, hogy Botond nyer?
• 5.10. probléma (ld. még 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.13, 5.11, 5.12; a könyv 216. oldalán): Két dobókockával dobunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Mennyi az egyes összegek dobásának valószínűsége?
• 5.19. probléma (a könyv 225. oldalán): Egy kamion képét láthatjuk alulnézetből az \aref{pk07}.\ ábrán, a kerekek csoportokba vannak osztva a számozás szerint. Hirtelen $4$ kerék kidurran, mindegyik kerék ugyanakkora eséllyel durran ki. Mi a valószínűsége, hogy a hat kerékcsoportból legalább egy teljesen tönkremegy?
• 5.20. probléma (a könyv 225. oldalán): Egy zsákban rudak vannak, amelyek $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ egység hosszúak. Véletlenszerűen kihúzunk három rudat. Mi a valószínűsége annak, hogy ezekből háromszöget lehet összerakni?
• 5.21. probléma (a könyv 226. oldalán): Azok közül az egész számokból álló $(b;c)$ rendezett számpárok közül, melyeknek mindkét eleme abszolút értékben legfeljebb $5$-tel, egyenlő, találomra kiválasztunk egyet. Mindegyik ilyen rendezett számpár kiválasztása egyenlően valószínű. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az $x^2+bx+c=0$ egyenletnek nincsenek különböző pozitív valós gyökei?
• 5.22. probléma (a könyv 226. oldalán): Egy dobozban két darab $1$ forintos, négy darab $5$ forintos és hat darab $10$ forintos érme van. Hat pénzdarabot húzunk ki a dobozból visszatevés nélkül. Mindegyik érme húzása egyformán valószínű. Mekkora a valószínűsége, hogy a kihúzott hat pénzdarab együttes értéke legalább $50$ forint?
• 5.24. probléma (ld. még 5.25; a könyv 227. oldalán): Egy családban $1/2$ valószínűséggel születik fiú, $1/2$ valószínűséggel lány. \mitem{(a)} Mi a valószínűsége, hogy az első gyerek fiú, a második lány? \mitem{(b)} A családban már van egy fiú, és most várják a második gyerek születését. Mi a valószínűsége, hogy lány lesz? \mitem{(c)} Egy vendég jön a családhoz, és találkozik egy fiúval, aki elmeséli, hogy a testvére kosárlabda edzésre ment. Mi a valószínűsége, hogy a másik gyerek lány?\par
• 5.25. probléma (ld. még 5.24; a könyv 228. oldalán): Egy $52$ lapos francia kártyacsomagból kihúzunk egy lapot, megnézzük és visszatesszük. \mitem{(a)} Legalább hányszor kell húzni, hogy legalább $1/2$ legyen annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer ászt húztunk közben? \mitem{(b)} Mi a valószínűsége, hogy tizedikre ászt húzunk, ha előtte nem volt ász?\par
• 5.27. probléma (ld. még 5.26, 5.28, 5.29; a könyv 229. oldalán): Egy urnában van $4$ piros és $2$ fehér golyó. Véletlenszerűen kiveszünk egy golyót, és helyette másik színűt teszünk az urnába $($piros helyett fehéret, fehér helyett pirosat$)$. Összerázzuk, majd ismét kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy ez a golyó piros?
• 5.28. probléma (ld. még 5.26, 5.27, 5.29; a könyv 229. oldalán): Egy $100$-nál nem nagyobb egészet úgy választunk ki, hogy $1-50$-ig bármely szám választásának esélye $p$, $51-100$-ig bármely szám választásának esélye $3p$. Mi a valószínűsége, hogy négyzetszámot választunk?
• 5.29. probléma (ld. még 5.26, 5.27, 5.28; a könyv 230. oldalán): Egy $4\times 4\times 4$-es kocka lapjait befestettük, majd a kockát $64$ darab $1\times 1\times 1$-es kockára vágtuk szét. Ezután egy egységkockát véletlenszerűen kiválasztunk és feldobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kocka felső lapja festett lesz?
• 5.30. probléma (a könyv 230. oldalán): András és Bence egy pénzérmével játszanak. Feldobják az érmét, és András kap egy pontot, ha fej, Béla kap egy pontot, ha írás. Az győz, aki előbb ér el legalább $6$ pontot, és legalább $2$ ponttal többet szerzett, mint az ellenfele. Tehát pl.\ $6:5$-re nem lehet nyerni. Ha most $5:5$ az állás, akkor mi a valószínűsége, hogy András nyer $10:8$-ra?
• 5.39. probléma (a könyv 237. oldalán): Egy $2,5$ dm hosszúságú pálcát véletlenszerűen kettétörünk. A darabokat megmérjük deciméterben, és egészre kerekítjük. Mennyi a valószínűsége, hogy ezen egészek összege $3$?
• 5.40. probléma (a könyv 238. oldalán): Legyen $P$ egy szabályos hatszög belső pontja. Mi a valószínűsége, hogy $P$-ből az oldalegyenesekre bocsátott merőlegesek talppontja az oldalak belső pontja?
• 5.41. probléma (a könyv 238. oldalán): Tekintsük a következő négy céltáblát $($\aref{pk26}.\ ábra$)$. Mindegyik céltáblára véletlenszerűen lövünk. Melyiknél legnagyobb a körbe találás valószínűsége?
• 5.46. probléma (a könyv 244. oldalán): Egy gömb felületén véletlenszerűen választunk három pontot. Mennyi a valószínűsége, hogy a választott pontok egy félgömbön lesznek?
• 6.1. probléma (ld. még 6.2, 6.3, 6.8; a könyv 251. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$ egy háromszög oldalai. Vannak-e olyan $k$ és $K$ számok, hogy bármely háromszög esetén $$k\leq S= \left|{a\over b}+{b\over c}+{c\over a}-{b\over a}-{c\over b}-{a\over c} \right|\leq K.$$
• 6.11. probléma (a könyv 262. oldalán): Mutassuk meg, hogy tetszőleges $x\in \rr$, $n\in \nn^+$ esetén $$\sin x= 2^n\sin {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^{n-1}}}\cdots \cos {x\over2}.$$
• 6.14. probléma (ld. még 6.15, 6.18, 6.20; a könyv 265. oldalán): Legyen $1<x_1<2,$ és minden $n\in \nn^+$ esetén $x_{n+1}=1+x_n- x_n^2/2.$ Bizonyítsuk be, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3$, akkor $$|x_n-\sqrt2|<{1\over{2^n}}.$$
• 6.16. probléma (a könyv 267. oldalán): Milyen pozitív $a$ szám esetén lesz $$\root3\of{2+\sqrt a}+ \root3\of{2-\sqrt a}$$ egész szám?
• 6.18. probléma (ld. még 6.1, 6.5, 6.6; a könyv 269. oldalán): Van-e olyan $k$ és $K$ szám, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív számok esetén $$k\leq S={a\over{a+b+d}}+{b\over{a+b+c}}+ {c\over{b+c+d}}+{d\over{a+c+d}}\leq K.$$
• 6.21. probléma (ld. még 6.1; a könyv 271. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $x, y, z\in [0,1],$ akkor $$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) \leq1.$$
• 6.26. probléma (ld. még 6.25, 1.2, 1.3; a könyv 277. oldalán): Legyen $x=\sqrt3$, $y={1/{\sqrt3}}$. Számítsuk ki az $\{n(1+ x)\}$ és az $\{n(1+y)\}$ sorozatok első tizenkét tagját, az első két tizedes jegyet írjuk ki. Az első sorozat első tagjai: $2,73;$ $5,46;$ $8,19;$ $10,92;$ $13,66;$ $16,39;$ $19,12;$ $21,85;$ $24,58;$ $27,32;$ $30,05;$ $32,78$. A második sorozat első tagjai: $1,57;$ $3,15;$ $4,73;$ $6,30;$ $7,88;$ $9,46;$ $11,04;$ $12,61;$ $14,19;$ $15,77;$ $17,35;$ $18,92$. Azt látjuk, hogy az első számok azt mutatják, hogy két szomszédos pozitív egész szám közé a két sorozat egyikének és csak egyikének egy tagja esik. Ez itt $1$ és $19$ között látható. Vajon ez később is teljesül? Igaz-e az, hogy bármely két szomszédos pozitív egész számot tekintünk, e két egész szám között a két sorozat pontosan egyikéből pontosan egy tag szerepel?