A "Az analízis alapfogalmainak néhány alkalmazása" fejezetben levő problémák:

• 6.1. probléma (ld. még 6.2, 6.3, 6.8; a könyv 251. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$ egy háromszög oldalai. Vannak-e olyan $k$ és $K$ számok, hogy bármely háromszög esetén $$k\leq S= \left|{a\over b}+{b\over c}+{c\over a}-{b\over a}-{c\over b}-{a\over c} \right|\leq K.$$
• 6.2. probléma* (ld. még 6.1, 6.3; a könyv 251. oldalán): Van-e olyan $K$ szám, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over2}+ \cdots+{1\over n}<K?$$
• 6.3. probléma** (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 252. oldalán): Az előző példa után természetes módon merül fel az a kérdés, hogy ha $a$ pozitív szám, akkor létezik-e $K$ szám úgy, hogy az $$1+{1\over{2^a}}+{1\over{3^a}}+\cdots+{1\over {n^a}}$$ összeg minden $n\in \nn^+$ esetén $K$ alatt marad? Ha $a>2,$ akkor mint azt az egyenlőtlenségekről szóló fejezetben láttuk, minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}\leq1+{1\over{2^2}} +\cdots+{1\over{n^2}}<2.$$ Ha $0<a<1,$ akkor minden $n\in \nn^+$ esetén $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}>1+{1\over2}+\cdots+{1\over n}.$$ Az előbbi példát felhasználva ez azt jelenti, hogy ilyen $a$-k esetén nincs alkalmas $K$. Az a kérdés maradt, hogy korlátos-e az $$1+{1\over{2^a}}+\cdots+{1\over{n^a}}$$ összeg, ha $1<a<2$?
• 6.4. probléma** (ld. még 6.2; a könyv 253. oldalán): Jelöljük $d(n)$-nel az $n$ pozitív egész szám osztóinak a számát. Néhány speciális eset: $d(1)=1$, $d(2)=2$, $d(3)=2$, $d(4)=3$, $d(6)=4$, $d(12)=6$. Ha $p$ prímszám, akkor $d(p)=2,$ ha $n=2^k,$ ahol $k\in \nn^+,$ akkor $d(n)=k+1.$ Ebből az is leolvasható, hogy tetszőlegesen megadva $M$ számot, van olyan $n$ egész szám, hogy $d(n)>M.$ Amint az eddigi példák is mutatják a $d(n)$ számok \idez{elég szabálytalanul} ingadoznak. A kérdés ezek után az, hogy vajon az átlagról tudnánk-e valami jellegzeteset mondani? Tudnánk-e becslést adni a $${{d(1)+d(2)+\cdots+d(n)}\over n}$$ számtani középre?
• 6.5. probléma* (ld. még 6.2, 6.3; a könyv 254. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq2$ akkor $$2\sqrt{n+1}- 2\sqrt n< {1\over{\sqrt n}}<2\sqrt n-2\sqrt{n-1}.$$ \mitem{b)} Keressünk olyan $n$ pozitív egész számot, amelyre $$1999<1+{1\over\sqrt2}+{1\over\sqrt3}+\cdots+{1\over\sqrt n}<2000.$$
• 6.6. probléma* (ld. még 6.2; a könyv 255. oldalán): Van-e olyan $k$ és $K$ szám, hogy tetszőleges $n\in \nn^+$ esetén $k\leq n\sin n\leq K?$
• 6.7. probléma** (ld. még 6.3; a könyv 255. oldalán): Mutassuk meg, hogy végtelen sok prímszám van.
• 6.8. probléma* (ld. még 6.1, 6.2; a könyv 256. oldalán): Igazoljuk, hogy bármely háromszögben található két olyan oldal, melyek hosszai különbségének abszolút értéke kisebb, mint a kerület hatodrésze.
• 6.9. probléma** (ld. még 6.3, 6.10; a könyv 257. oldalán): Mutassuk meg, hogy tetszőleges $m\in \nn^+$ esetén $$\pi^2{{2m(m+1)}\over{3(2m+1)^2}}>1+{1\over{2^2}}+\cdots+{1\over{m^2}}> \pi^2{{m(2m-1)}\over{3(2m+1)^2}}.$$
• 6.10. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 259. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ olyan pozitív egész számok, hogy $a^2+b^2=c^2,$ akkor az ${a/ b}$ számot pitagoraszi racionális számnak nevezzük. ${a/ b}$-vel együtt ${b/ a}$ is pitagoraszi racionális szám. Mutassuk meg, hogy a pitagoraszi racionális számok a nemnegatív valós számok körében sűrűn vannak. $($Ezen a sűrűségen azt értjük, hogy bárhogyan is tekintünk a pozitív félegyenesen egy intervallumot, ebben van pitagoraszi racionális szám.$)$
• 6.11. probléma (a könyv 262. oldalán): Mutassuk meg, hogy tetszőleges $x\in \rr$, $n\in \nn^+$ esetén $$\sin x= 2^n\sin {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^n}}\cos {x\over{2^{n-1}}}\cdots \cos {x\over2}.$$
• 6.12. probléma* (ld. még 6.1; a könyv 263. oldalán): $A$ és $B$ teniszeznek. Egy szetet játszanak. A szetnek akkor van vége, amikor valamelyikük legalább hat játékot nyer úgy, hogy a másik legalább kettővel kevesebbet nyer. A győztes a labdáknak legalább hány százalékát nyerte meg?
• 6.13. probléma** (ld. még 6.9; a könyv 263. oldalán): Legyen $n$ természetes szám. Vizsgáljuk meg, hogy az $$x^2+y^2=n$$ egyenletnek hány egész számokból álló megoldása van? Jelöljük ezt a számot $r(n)$-nel. $n=0$ esetén egy megoldás van: $(0,0).$ $r(1)=4,$ mert $n=1$ esetén négy megoldás van: $(1,0); (0,1); (-1,0); (0,-1)$. Ellenőrizhetjük, hogy $r(2)=4.$ $r(3)= 0,$ amiről próbálkozással is meggyőződhetünk, de gondolkodhatunk a következő módon is: Ha $x^2+y^2$ páratlan egész szám, akkor $x$ és $y$ közül az egyik páros, a másik páratlan. Páros szám négyzete osztható $4$-gyel, páratlan szám négyzete $4$-gyel osztva maradékul $1$-et ad. Ezért nem csupán azt kaptuk, hogy $x^2+y^2$ nem lehet $3$, hanem azt is, hogy $4k+3$ alakú sem lehet, ahol $k\in \nn.$ Nemcsak ilyen $n$ számokra lesz az $r\colon\nn\rightarrow \nn$ függvény $0$. Meggyőződhetünk róla, hogy például $r(12)=0.$ Az $r$ végtelen sok $n$ esetén lesz $0$, de nagyon nagy értékeket is felvehet. A feladat az, hogy tudunk-e valamit mondani az $${{r(0)+r(1)+\cdots+r(n-1)}\over n}$$ átlagról?
• 6.14. probléma (ld. még 6.15, 6.18, 6.20; a könyv 265. oldalán): Legyen $1<x_1<2,$ és minden $n\in \nn^+$ esetén $x_{n+1}=1+x_n- x_n^2/2.$ Bizonyítsuk be, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3$, akkor $$|x_n-\sqrt2|<{1\over{2^n}}.$$
• 6.15. probléma** (ld. még 6.14; a könyv 266. oldalán): Legyen adott az $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=\sin x+\sin (x\sqrt2)$ függvény. Az világos, hogy minden $x$ esetén $$-2<f(x)<2.$$ Javítható-e ez a becslés?
• 6.16. probléma (a könyv 267. oldalán): Milyen pozitív $a$ szám esetén lesz $$\root3\of{2+\sqrt a}+ \root3\of{2-\sqrt a}$$ egész szám?
• 6.17. probléma** (a könyv 268. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha a $p$ prímszám $4m+1$ alakú, ahol $m\in \nn^+,$ akkor van olyan $x, y\in \nn$, hogy $p=x^2+y^2.$
• 6.18. probléma (ld. még 6.1, 6.5, 6.6; a könyv 269. oldalán): Van-e olyan $k$ és $K$ szám, hogy tetszőleges $a$, $b$, $c$, $d$ pozitív számok esetén $$k\leq S={a\over{a+b+d}}+{b\over{a+b+c}}+ {c\over{b+c+d}}+{d\over{a+c+d}}\leq K.$$
• 6.19. probléma* (a könyv 270. oldalán): Legyen $n\in \nn^+$, $n\geq2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$; $p_1,p_2,\ldots,p_n$ pozitív számok, $p_1+p_2+\cdots+p_n=1.$ Mutassuk meg, hogy $$G=a_1^{p_1}a_2^{p_2} \cdots a_n^{p_n}\leq p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n=A.$$
• 6.20. probléma* (ld. még 6.1, 6.8, 6.14, 6.18; a könyv 270. oldalán): Az a feladatunk, hogy $\sqrt5$-öt határozzuk meg elég nagy pontossággal. Tekintsünk előbb egy közelítő értéket, legyen $a_1=2.$ Ekkor létezik olyan $b_1$, hogy $2+b_1=\sqrt5.$ Innen $b_1^2+4b_1-1=0,$ azaz $b_1=(-4\pm\sqrt{16+4})/2=-2\pm \sqrt5.$ \'Igy $b_1$-hez éppen a keresett $\sqrt5$-öt kellene megállapítani. Gondoljunk ezért arra, hogy közelítést végzünk, és abban bízunk, hogy nem követünk el nagy hibát. Vegyük figyelembe, hogy $|b_1|<1,$ ezért úgy érezzük, hogy $b_1^2$ \idez{kicsi}, hagyjuk el. Ekkor $b_1={1/4}.$ Legyen ezért $a_2=2,25.$ Ehhez van olyan $b_2,$ hogy $a_2+b_2=\sqrt5.$ Ismét négyzetre emelve és $b_2^2$-et elhagyva azt kapjuk, hogy $$b_2={{5-a_2^2}\over {2a_2}}=-{1\over{72}}.$$ Folytassuk ezt az eljárást!
• 6.21. probléma (ld. még 6.1; a könyv 271. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $x, y, z\in [0,1],$ akkor $$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) \leq1.$$
• 6.22. probléma* (ld. még 6.12; a könyv 272. oldalán): Tegyük fel, hogy az $\{a_n\}$ sorozat elemei benne vannak a $(0,1)$ intervallumban. Anna úgy látja, hogy ha valaki az $n$-edik lépésben $a_n$ méter utat tesz meg, akkor bármilyen messze el tud jutni a kiinduló ponttól, ha elegendően sok lépést tesz meg. Domokostól $1$ méterre van egy megrakott asztal. Első lépésben Domokos $a_1\cdot1$ méter utat tesz meg, a második lépésben $a_2(1-a_1 \cdot1)$ utat, a harmadikban $a_3(1-d_2)$ utat, ahol $d_2$ jelenti a Domokos által első két lépésben megtett utat, és így tovább, az $n$-edik lépésben megtett út: $a_n(1-d_{n-1}),$ ahol $d_{n-1}$ jelenti a Domokos által az első $n-1$ lépésben megtett utat. Eljut-e Domokos az asztalhoz?
• 6.23. probléma* (a könyv 273. oldalán): Van egy furcsa lyukasztónk: Ha a sík egy pontját ezzel kilyukasztjuk, az összes olyan pontot is eltünteti, amelyik irracionális távolságra van ettől a ponttól. Hány lyukasztással tudjuk a sík összes pontját eltüntetni?
• 6.24. probléma** (a könyv 275. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $a$ olyan pozitív szám, hogy minden $p$ prímszám esetén $p^a$ egész szám, akkor $a$ is egész szám kell legyen.
• 6.25. probléma* (ld. még 6.26; a könyv 276. oldalán): Tekintsük a következő függvényt: $$f\colon\nn^+\rightarrow \nn^+,\quad f(n)= \left[n+\sqrt n+{1\over2}\right].$$ Milyen pozitív egész $m$ számokat nem vesz fel ez a függvény?
• 6.26. probléma (ld. még 6.25, 1.2, 1.3; a könyv 277. oldalán): Legyen $x=\sqrt3$, $y={1/{\sqrt3}}$. Számítsuk ki az $\{n(1+ x)\}$ és az $\{n(1+y)\}$ sorozatok első tizenkét tagját, az első két tizedes jegyet írjuk ki. Az első sorozat első tagjai: $2,73;$ $5,46;$ $8,19;$ $10,92;$ $13,66;$ $16,39;$ $19,12;$ $21,85;$ $24,58;$ $27,32;$ $30,05;$ $32,78$. A második sorozat első tagjai: $1,57;$ $3,15;$ $4,73;$ $6,30;$ $7,88;$ $9,46;$ $11,04;$ $12,61;$ $14,19;$ $15,77;$ $17,35;$ $18,92$. Azt látjuk, hogy az első számok azt mutatják, hogy két szomszédos pozitív egész szám közé a két sorozat egyikének és csak egyikének egy tagja esik. Ez itt $1$ és $19$ között látható. Vajon ez később is teljesül? Igaz-e az, hogy bármely két szomszédos pozitív egész számot tekintünk, e két egész szám között a két sorozat pontosan egyikéből pontosan egy tag szerepel?
• 6.27. probléma* (a könyv 281. oldalán): \mitem{a)} Keressük meg az összes olyan $f\colon\nn\rightarrow \nn$ függvényt, amelyre $f(1)=1,$ és minden $x,y\in \nn$ esetén $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{b)} Ha $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=ax^2+bx+c$, akkor milyen $a,b,c\in \rr$ esetén teljesül minden $x,y\in \rr$-re $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{c)} Melyek azok a differenciálható $f\colon\rr\rightarrow \rr$ függvények, amelyek esetén $f(1)=1$ és minden $x,y\in \rr$-re $$f(x+y)=f(x)+f(y)+xy.$$ \mitem{d)} Tegyük fel, hogy $f\colon\rr\rightarrow \rr,$ az $f$ függvény folytonos a $0$ pontban, és minden $x,y\in \rr$ esetén $f(x+y)=f(x)+ f(y)+xy.$ Mi lehet az $f$ függvény?\par
• 6.28. probléma** (a könyv 283. oldalán): A $T$ téglalapot lefedtük véges sok téglalappal. A lefedő téglalapok nem nyúlnak egymásba, és nem nyúlnak ki $T$-ből. Mutassuk meg, hogy ha a lefedő téglalapok legalább egyik oldala egész szám, akkor $T$-nek is legalább egyik oldala egész szám.
• 6.29. probléma** (ld. még 3.4, 3.5, 3.6, 3.7; a könyv 287. oldalán): Ez egy rejtvényszerű, nevezetes probéma. Egy autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag szélén tetszőleges mennyiségű üzemanyagot találunk, a sivatagban jelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, de lehetőségünk van lerakatokat készíteni a sivatagban. Lehetséges-e a sivatagon az autóval átkelni?