Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
A "Geometria" fejezetben levő problémák:
- 4.1. probléma (a könyv 127. oldalán): Hol helyezkednek el a síkban azok a pontok, amelyeknek egy derékszög két szárától vett távolságösszege egy adott szakasz hosszával egyenlő?
- 4.2. probléma (a könyv 127. oldalán): Hol helyezkednek el az $ABCD$ négyzet belsejében azok a $P$ pontok, amelyekre a $PAB$ háromszög területe fele a $PDA$ háromszög területének?
- 4.3. probléma (a könyv 127. oldalán): Adott egy kör és azon belül egy $P$ pont. Keressük azon körök középpontjainak halmazát, amelyek az adott kört érintik és az adott $P$ ponton mennek keresztül.
- 4.4. probléma (a könyv 127. oldalán): Adott egy síkban egy $e$ egyenes. Az $e$-t adott $A$ és $B$ pontjában érinti két egymást is érintő, az adott síkban fekvő kör. Változtassuk az érintő körök sugarát. Határozzuk meg a körök érintési pontjainak halmazát!
- 4.5. probléma* (a könyv 129. oldalán): Adott egy $e$ egyenesen négy pont: $A$, $B$, $C$ és $D$ ebben a sorrendben. Mi azon $M$ pontok halmaza a térben, amelyekre $MCD\angle =MAD\angle +MBD\angle$?
- 4.6. probléma (a könyv 130. oldalán): Egy egyenesen megadunk egy $P$ és az egyenesen kívül egy $A$ pontot. Szerkesszünk az egyenesen olyan $Q$ pontot, amelyre az $AQ+QP$ összeg egy előre adott szakasz hosszával egyenlő!
- 4.7. probléma* (a könyv 130. oldalán): Adott a síkban két pont, egy $\alpha$ szög, továbbá egy, a két adott pontot összekötő egyenessel párhuzamos egyenes. Szerkesszünk az adott egyenesen olyan szakaszt, amely mindkét adott pontból $\alpha$ szög alatt látszik!
- 4.8. probléma* (a könyv 130. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott a háromszög kerülete $(a+b+c)$, továbbá az $a$ és $b$ oldalakhoz hozzáírt körök $r_a$ és $r_b$ sugara!
- 4.9. probléma* (a könyv 131. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldalának, és a két oldal által közrefogott belső szögfelező háromszögbe eső szakaszának a hossza! Vizsgáljuk meg a szerkeszthetőség feltételeit!
- 4.10. probléma* (a könyv 132. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik csúcsa, az ebből kiinduló belső szögfelezőnek a szemközti oldallal vett metszéspontja, valamint a háromszög magasságpontja!
- 4.11. probléma* (a könyv 133. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük egyik csúcsának a távolságát a magasságponttól, a súlyponttól és a körülírt kör középpontjától!
- 4.12. probléma* (a könyv 134. oldalán): Szerkesszünk háromszöget, ha adva van egy oldalának és a hozzá tartozó magasságnak a hossza, valamint tudjuk, hogy az adott oldalon fekvő két belső szög közül az egyik kétszer akkora, mint a másik!
- 4.13. probléma* (ld. még 4.47; a könyv 135. oldalán): Szerkesszünk adott $ABC$ háromszög $AB$ oldalára merőlegesen olyan egyenest, amely felezi a háromszög területét!
- 4.14. probléma* (a könyv 136. oldalán): Adott $ABC$ háromszög köré szerkesszünk olyan adott $k$ kerületű $CDEF$ téglalapot, amelynek a $C$-t nem tartalmazó egy-egy oldala átmegy $A$-n, illetve $B$-n!
- 4.15. probléma* (a könyv 137. oldalán): Szerkesszünk olyan $ABCDE$ konvex ötszöget, amelyben $AB=CD$, $BC=ED$, $AC=BD=EC$, valamint a $BE$ átlót az $AC$ átló $90^\circ$-os, az $AD$ átló pedig $75^\circ$-os szögben metszi!
- 4.16. probléma* (ld. még 4.17; a könyv 138. oldalán): $A$ és $B$ két adott pont a síkon. Csak körzővel szerkesszük meg az $AB$ szakasz felezőpontját!
- 4.17. probléma* (ld. még 4.16; a könyv 139. oldalán): $A$ és $B$ két adott pont a síkon. Tegyük fel, hogy egyetlen körző áll rendelkezésünkre és ezzel is csak egy bizonyos rögzített $r$ sugarú kört tudunk rajzolni, ahol $r>AB$. Szerkesszünk ezen körző segítségével olyan $C$ pontot a síkon, amellyel az $ABC$ háromszög szabályos!
- 4.18. probléma** (a könyv 139. oldalán): Adott a síkon egy körvonal a középpontjával és egy $AB$ szakasz. Egyélű vonalzó segítségével a sík egy adott $P$ pontján át húzzunk $AB$-vel párhuzamos egyenest!
- 4.19. probléma (a könyv 142. oldalán): Egy adott derékszögű háromszög egyik befogójára emelt kör az átfogót $1:3$ arányban osztja. Megállapítható-e ebből az adatból a derékszögű háromszög további két szöge?
- 4.20. probléma (a könyv 142. oldalán): Az $ABC$ háromszög magasságvonalai az $M$ pontban metszik egymást. Tudjuk, hogy $MC=AB$. Határozzuk meg a háromszög $C$ csúcsánál levő belső szöget!
- 4.21. probléma (ld. még 4.20; a könyv 142. oldalán): Határozzuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szögét, ha $C$-nek és a háromszög magasságpontjának a távolsága a körülírt kör sugarával egyenlő!
- 4.22. probléma (a könyv 143. oldalán): Állapítsuk meg az $ABC$ háromszög $C$ csúcsánál levő szöget, ha az $A$ pont a háromszöghöz hozzáírt, az $AB$ és a $BC$ oldalt érintő körök középpontjaitól egyenlő távolságra van!
- 4.23. probléma* (a könyv 144. oldalán): Az $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő belső szög nagysága $120^\circ$. A belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszai legyenek $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Mekkora a $C_1A_1B_1\angle$?
- 4.24. probléma (a könyv 145. oldalán): Érintse az $ABC$ derékszögű háromszögbe írt kör az $AB$ átfogót a $D$ pontban. Igazoljuk, hogy a háromszög területe megegyezik annak a téglalapnak a területével, amelynek oldalai $AD$ és $BD$!
- 4.25. probléma (a könyv 145. oldalán): Mutassuk meg, hogy a háromszög hozzáírt köreinek középpontján átmenő kör sugara kétszerese a háromszög köré írt kör sugarának!
- 4.26. probléma (ld. még 4.27; a könyv 146. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha egy háromszög beírt körének sugara $r$, hozzáírt köreinek sugarai $r_a$, $r_b$, $r_c$, akkor $${1 \over r}={{1 \over r_a}+{1 \over r_b}+{1 \over r_c}}$$
- 4.27. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 147. oldalán): Egy háromszög mindhárom oldalegyenesét érintő négy kör sugara egy mértani sorozat egymást követő négy eleme. Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?
- 4.28. probléma** (ld. még 4.26, 4.27, 4.53; a könyv 148. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha az $ABC$ háromszög oldalait a beírt kör a $P_1$, $P_2$, $P_3$ pontokban érinti, az oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai pedig $O_1$, $O_2$, $O_3$, akkor az $ABC$ háromszög területe mértani közepe a $P_1P_2P_3$ és $O_1O_2O_3$ háromszögek területének!
- 4.29. probléma (ld. még 4.26, 4.27; a könyv 150. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a háromszög bármelyik magassága egyenlő a közrefogó oldalakhoz hozzáírt körök sugarának harmónikus közepével!
- 4.30. probléma (a könyv 150. oldalán): Az $ABC$ derékszögű háromszögben olyan $r$ sugarú félkört szerkesztünk, amelynek középpontja az $AB$ átfogón van, és érinti az $a$ és $b$ befogókat. Bizonyítsuk be, hogy $${1 \over r}={{1 \over a}+{1 \over b}}$$
- 4.31. probléma (a könyv 150. oldalán): Adott derékszögű háromszög befogói fölé rajzoljunk kifelé négyzeteket. Mutassuk meg, hogy a háromszög köré írható kör átmegy a négyzetek legtávolabbi csúcsait összekötő szakasz felezőpontján!
- 4.32. probléma* (a könyv 151. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy minden hegyesszögű $ABC$ háromszögben $${AM+BM+CM}={2(R+r)},$$ ahol $M$ a háromszög magasságpontja, $r$ a beírt, $R$ pedig a körülírt kör sugara!
- 4.33. probléma* (ld. még 4.32; a könyv 152. oldalán): Jelölje $R$, illetve $r$ a háromszög köré, illetve a háromszögbe írt kör sugarát, $d_a$, $d_b$, $d_c$ pedig a körülírt kör középpontjának a háromszög oldalaitól vett távolságait. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög hegyesszögű, akkor $${{d_a}+{d_b}+{d_c}}={R+r}$$ Hogyan módosul az állítás, ha a háromszög tompaszögű?
- 4.34. probléma* (a könyv 154. oldalán): Milyen összefüggésnek kell fennállni a háromszög $a$, $b$ és $c$ oldala között ahhoz, hogy a háromszöget egyik oldalával párhuzamosan egyetlen egyenessel két egyenlő területű és egyben egyenlő kerületű részre lehessen bontani?
- 4.35. probléma* (ld. még 4.36, 4.37; a könyv 155. oldalán): Adott a síkban egy $P$ pont, továbbá az $x$, $y$, $z$ szakaszok. Szerkesszünk olyan $ABC$ szabályos háromszöget, amelyre $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$!
- 4.36. probléma* (ld. még 4.35, 4.37; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=3$, $PB=4$, $PC=5$. Mekkora a háromszög oldala?
- 4.37. probléma* (ld. még 4.35, 4.36; a könyv 156. oldalán): A szabályos $ABC$ háromszög egy belső $P$ pontjára teljesül, hogy $PA=x$, $PB=y$, $PC=z$. Fejezzük ki a háromszög területét $x$, $y$ és $z$ segítségével!
- 4.38. probléma (a könyv 157. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög magasságpontja és köré írt körének középpontja a háromszög egyik belső szögfelezőjére nézve szimmetrikusan helyezkedik el, akkor a háromszög egyik szöge $60^\circ$-os!
- 4.39. probléma (a könyv 157. oldalán): A hegyesszögű $ABC$ háromszög $A$ csúcsánál levő szög $60^\circ$-os. A háromszög $B$-ből induló magasságának talppontja $D$, a $C$-ből induló magasság talppontja pedig $E$. Jelölje $M$ a háromszög magasságpontját, $O$ pedig a körülírt kör középpontját. Mutassuk meg, hogy az $OM$ egyenes felezi a $BME$ szöget!
- 4.40. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszög $AD$ súlyvonalának felezőpontja $F$. A $CF$ egyenes az $AB$ oldalt az $M$ pontban metszi. Határozzuk meg az $AM:MB$ arányt!
- 4.41. probléma (a könyv 159. oldalán): Tudjuk, hogy egy háromszögben az egyik csúcsból induló súlyvonal, belső szögfelező és magasságvonal a szöget négy egyenlő részre osztja. Mekkorák a háromszög szögei?
- 4.42. probléma (a könyv 159. oldalán): Az $ABC$ háromszögön belül tetszőlegesen felvett $O$ ponton át húzzunk párhuzamosokat a háromszög oldalaival. Ezek az egyenesek a háromszöget hat részre osztják, ezek közül három háromszög. E háromszögekbe írt körök sugarai legyenek $r_1$, $r_2$, $r_3$, az $ABC$ háromszögbe írt kör sugara pedig legyen $r$. Mutassuk meg, hogy $r=r_1+r_2+r_3$!
- 4.43. probléma (a könyv 161. oldalán): Melyek azok a háromszögek, amelyeknek van két olyan magassága, amelyek hossza egy-egy oldal hosszával egyenlő?
- 4.44. probléma (a könyv 161. oldalán): Az $ABC$ háromszög $AC$ oldalának valamely $P$ pontján át húzzunk párhuzamosokat az $AK$ illetve $CL$ súlyvonalakkal. Ezek messék a $BC$ illetve $AB$ oldalt az $E$ illetve $F$ pontban. Mutassuk meg, hogy az $EF$ szakaszt az $AK$ és $CL$ súlyvonalak harmadolják!
- 4.45. probléma* (a könyv 162. oldalán): Egy szabályos tizenkétszög egymás után következő csúcsai $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{12}$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over {{A_1A_2}^2}}+{1 \over {{A_1A_6}^2}}}={4 \over {{A_1A_3}^2}}$$
- 4.46. probléma (a könyv 163. oldalán): Az $A$-ban derékszögű $ABC$ háromszögben $EF$ a $BC$-vel párhuzamos középvonal, $D$ pedig az $A$-ból kiinduló magasság talppontja. \mitem{a)}Bizonyítsuk be, hogy az $EDF$ és az $ABC$ háromszögek hasonlóak! \mitem{b)}Keressünk az átfogón olyan $D$-től különböző $M$ pontot, amelyre nézve az $EMF$ és $ABC$ háromszögek hasonlóak!\par
- 4.47. probléma (ld. még 4.13; a könyv 163. oldalán): Milyen arányban kell az $ABC$ derékszögű háromszög $AB$ átfogóját két részre osztanunk, ha azt szeretnénk elérni, hogy az osztási pontban az átfogóra emelt merőleges felezze a háromszög területét?
- 4.48. probléma (a könyv 164. oldalán): Rajzoljunk egy $2/\sqrt{3}$ egység oldalú szabályos hatszöget. Helyezzünk el a síkban egységnyi sugarú köröket úgy, hogy középpontjaik a hatszög belsejében legyenek. Mutassuk meg, hogy alkalmasan választott egységnyi oldalú szabályos háromszög csúcsaiban elhelyezett tűvel a körök mind rögzíthetők a síkhoz!
- 4.49. probléma* (a könyv 164. oldalán): Az $ABCD$ húrnégyszögben fennáll az $AB+CD=BC$ egyenlőség. Igazoljuk, hogy az $A$, illetve a $D$ pontból húzott belső szögfelezők metszéspontja a $BC$ szakaszra esik!
- 4.50. probléma (ld. még 4.51; a könyv 165. oldalán): Egységnyi oldalú szabályos háromszögbe beírunk három kört a \aref{kj94}.\ ábrán látható kétféle módon. Melyik esetben nagyobb a három kör által a háromszögből lefedett terület?
- 4.51. probléma** (ld. még 4.50, 4.52; a könyv 166. oldalán): Adott háromszögbe szerkesszünk három olyan kört, amelyek mindegyike érinti a háromszög két oldalát és a másik két kört! {\rm (Malfatti-körök szerkesztésének problémája)}
- 4.52. probléma** (ld. még 4.51; a könyv 169. oldalán): Az $ABC$ háromszögbe írjunk be egy $k_1$ kört úgy, hogy érintse a $BC$ és $CA$ oldalakat, sugara pedig kisebb legyen a háromszög beírt körének sugaránál, de nagyobb legyen a beírt kört, valamint a $BC$ és $CA$ oldalakat belső pontban érintő kör sugaránál. Ezután vegyük fel a $k_2$ kört úgy, hogy kívülről érintse a $k_1$ kört, valamint érintse az $AB$ és $CA$ oldalakat. A $k_3$ kör érintse kívülről a $k_2$ kört, valamint az $AB$ és $BC$ oldalakat. Az eljárást folytatva köröknek olyan sorozatát kapjuk, amelyek kívülről érintik az előző kört, valamint a háromszög két oldalát. Mutassuk meg, hogy a $k_7$ kör azonos a $k_1$ körrel!
- 4.53. probléma* (ld. még 4.26; a könyv 171. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét $t$, félkerületét $s$, beírt körének sugarát $r$, köréírt körének sugarát $R$. Legyenek továbbá a magasságok $m_a$, $m_b$, $m_c$, a hozzáírt körök sugarai pedig $r_a$, $r_b$, $r_c$. Igazoljuk a következő egyenlőtlenségeket! {\openup\jot\mitem{a)} ${{m_a}+{m_b}+{m_c}} \geq {9r}$ \mitem{b)} ${{r_a}+{r_b}+{r_c}} \geq {9r}$ \mitem{c)} ${2{s^2}} \geq {27Rr}$ \mitem{d)} $R3\sqrt{3}/2 \geq s$ \mitem{e)} ${3\sqrt{3}r} \leq s$ \mitem{f)} ${2r} \leq R$\par}
- 4.54. probléma* (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Jelölje egy háromszög oldalainak hosszát $a$, $b$, $c$, területét pedig $t$. Igazoljuk, hogy $$t \leq {{\sqrt{3}} \over 4} \cdot {{\left({{a+b+c} \over 3}\right)}^2}$$
- 4.55. probléma (ld. még 4.53; a könyv 173. oldalán): Igazoljuk, hogy derékszögű háromszögben a hegyesszögek csúcsaiból kiinduló súlyvonalak négyzete összegének és a háromszögbe írt kör sugara négyzetének hányadosa nem kisebb $20$-nál!
- 4.56. probléma* (a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$ és $c$, a beírt kör átmérőjének hossza pedig legyen $d$. Mutassuk meg, hogy $${d^2+(a-b)^2}<c^2$$
- 4.57. probléma** (ld. még 4.58; a könyv 174. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$S={{{(a+b+c)}^2} \over {bc}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$ és $K_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén ${K_1}\leq S \leq {K_2}$?
- 4.58. probléma** (ld. még 4.57; a könyv 175. oldalán): Egy háromszög oldalainak hosszát jelölje $a$, $b$, $c$, és tegyük fel, hogy $a \leq b \leq c$. Legyen $$T={{(a+b+c)^2} \over {ca}} \quad \hbox{ illetve } \quad U={{(a+b+c)^2} \over {ab}}.$$ Léteznek-e olyan $K_1$, $K_2$, illetve $M_1$, $M_2$ számok, hogy bármely háromszög esetén teljesüljenek a $${K_1} \leq T \leq {K_2} \quad \hbox{ illetve } \quad {M_1} \leq U \leq {M_2}$$ egyenlőtlenségek?
- 4.59. probléma* (ld. még 4.9; a könyv 176. oldalán): Egy háromszög oldalainak hossza $a$, $b$, $c$, a belső szögfelezők háromszögbe eső szakaszainak hossza pedig $x$, $y$, $z$. Bizonyítsuk be, hogy $${{1 \over x}+{1 \over y}+{1 \over z}}>{{1 \over a}+{1 \over b}+{1 \over c}}$$ teljesül!
- 4.60. probléma (a könyv 177. oldalán): Egy szög szárai között adott két pont. Szerkesszük meg azt a legrövidebb utat, amelyik az egyik pontból az egyik szögszárhoz, onnan a másik szögszárhoz, onnan pedig a másik ponthoz vezet!
- 4.61. probléma* (ld. még 4.60; a könyv 178. oldalán): Adott háromszögbe írjunk be legkisebb kerületű háromszöget!
- 4.62. probléma** (ld. még 4.61; a könyv 179. oldalán): Adott $ABCD$ húrnégyszög átlóinak metszéspontja legyen $X$. Bocsássunk $X$-ből merőlegeseket a négyszög oldalaira, ezek talppontjai az $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ oldalon legyenek rendre $P$, $Q$, $R$, $S$. Igazoljuk, hogy az $ABCD$ négyszögbe írható összes négyszöget tekintve, a $PQRS$ négyszögnél nincs kisebb kerületű beírt négyszög!
- 4.63. probléma* (a könyv 182. oldalán): \mitem{a)} Adott hegyesszögű háromszögben van-e olyan pont, amelynek a háromszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális? \mitem{b)} Konvex négyszög síkjában van-e olyan pont, amelynek a négyszög csúcsaitól vett távolságösszege minimális?\par
- 4.64. probléma* (a könyv 183. oldalán): Adott egy kör, és ennek egyik átmérőjén a középponttól egyenlő távolságra az $A$ és a $B$ pontok. $A$-ból egyenes úton elmegyünk a körig, onnan pedig $B$-be. Melyik a legrövidebb, és melyik a leghosszabb út?
- 4.65. probléma (a könyv 184. oldalán): Egy $C$ csúcsú konvex szögtartomány adott $P$ belső pontján átmenő egyenesek közül melyik vágja le a legkisebb területű háromszöget a szögtartományból?
- 4.66. probléma* (a könyv 185. oldalán): Az $a$ élhosszúságú szabályos tetraédernek különböző síkokra vett merőleges vetületei közül válasszuk ki azt, amelynek a területe a legnagyobb!
- 4.67. probléma* (a könyv 185. oldalán): Adott a térben az $ABC$ és az $A_1B_1C_1$ háromszög. Tekintsük az összes olyan $MM_1$ távolságot, ahol $M$ az $ABC$, $M_1$ pedig az $A_1B_1C_1$ zárt háromszöglap valamely pontja. Bizonyítsuk be, hogy az összes $MM_1$ távolságok közül a legnagyobb megegyezik az $AA_1$, $AB_1$, $AC_1$, $BA_1$, $BB_1$, $BC_1$, $CA_1$, $CB_1$, $CC_1$ távolságok közül a legnagyobbal!
- 4.68. probléma* (a könyv 186. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy egy tetraéder bármely három magasságának szorzata nem nagyobb a tetraéder térfogatának hatszorosánál! Mikor teljesül egyenlőség?
- 4.69. probléma* (a könyv 187. oldalán): Az egységnyi élű kocka felületén halad egy zárt töröttvonal úgy, hogy ennek a kocka minden lapján van szakasza. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal hossza nem kisebb $3{\sqrt{2}}$-nél!
- 4.70. probléma* (ld. még 4.71; a könyv 188. oldalán): Igaz-e, hogy az egységnyi sugarú zárt körlemezen nem lehet ötnél több pontot úgy elhelyezni, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen?
- 4.71. probléma* (ld. még 4.70; a könyv 188. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy a $10$ egység sugarú zárt körlemezen nem lehet $450$ pontot elhelyezni úgy, hogy bármely két pont távolsága $1$-nél nagyobb legyen!
- 4.72. probléma* (a könyv 188. oldalán): A síkban elhelyeztünk $4$-nél nem kevesebb pontot úgy, hogy bármely három pont által meghatározott háromszög területe $1$-nél kisebb. Mutassuk meg, hogy van olyan $4$-nél kisebb területű háromszög, amely az összes pontot lefedi!
- 4.73. probléma* (ld. még 4.74, 4.75; a könyv 189. oldalán): Hány részre vágja szét a síkot $n$ darab olyan egyenese, amelyek közül bármely kettő metszi egymást, és nincs közöttük három $($vagy több$)$ olyan, amelyek közös ponton haladnak át? $($A sík egy egyeneshalmazának egyeneseit függetleneknek nevezzük, ha rendelkeznek az előbbi tulajdonsággal.$)$
- 4.74. probléma* (ld. még 4.73, 4.75; a könyv 191. oldalán): Hány részre osztja a teret $n$ darab olyan sík, amelyek közül bármely háromnak van közös pontja, de semelyik négy $($vagy több$)$ síknak nincs közös pontja?
- 4.75. probléma* (ld. még 4.73, 4.74; a könyv 193. oldalán): Egy adott kör kerületén felvett $n$ darab pont által meghatározott húrok legfeljebb hány részre osztják a körlapot?
- 4.76. probléma* (a könyv 194. oldalán): \mitem{a)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab körvonal? \mitem{b)} Legfeljebb hány részre osztja a síkot $n$ darab háromszög?\par
- 4.77. probléma* (ld. még 4.74; a könyv 194. oldalán): Adott $n$ sík, amelyek mindegyike tartalmazza a $P$ pontot, de semelyik három síknak nincs közös egyenese. Hány részre osztják ezek a síkok a teret?
- 4.78. probléma* (a könyv 195. oldalán): Elhelyezhető-e a síkban \mitem{a)} hat, \mitem{b)} nyolc, \mitem{c)} hét \par\noindent szakasz úgy, hogy mindegyik szakasz pontosan három másikat messen?
- 4.79. probléma** (a könyv 196. oldalán): Legfeljebb hány pontban metszheti egymást a sík $k$ darab körvonala és $n$ darab egyenese?
- 4.80. probléma** (ld. még 4.81, 4.82; a könyv 197. oldalán): Adott a síkban véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy egyenesre. Van-e a síknak olyan egyenese, amelyik pontosan két pontot tartalmaz az adottak közül?
- 4.81. probléma** (ld. még 4.80, 4.82; a könyv 199. oldalán): Adott a térben véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy síkra. Van-e olyan sík, amelyik pontosan három, nem egy egyenesre illeszkedő adott pontot tartalmaz?
- 4.82. probléma** (ld. még 4.80, 4.81; a könyv 200. oldalán): Adott a térben véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy síkra. Van-e olyan sík, amelyre illeszkedő adott pontok a síknak legfeljebb két egyenesén helyezkednek el?
- 4.83. probléma** (ld. még 4.80, 4.87, 4.88; a könyv 200. oldalán): Adott a síkban véges sok pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Van-e a síknak olyan köre, amelyik pontosan három adott pontot tartalmaz?
- 4.84. probléma** (ld. még 4.80; a könyv 201. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy nem illeszkedik mind egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy az adott pontok által meghatározott egyenesek száma legalább $n$.
- 4.85. probléma* (ld. még 4.83, 4.84, 4.86; a könyv 202. oldalán): Adott a síkon $n$ pont úgy, hogy egy kivételével mind egy körre illeszkednek. Határozzuk meg azon körök számát, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek!
- 4.86. probléma** (ld. még 4.83, 4.84, 4.85; a könyv 202. oldalán): Adott a síkban $n$ pont úgy, hogy nem illeszkednek mind egy körre, és semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Igaz-e, hogy azon körök száma, amelyek legalább három adott pontra illeszkednek legalább $\left({n-1 \atop 2}\right)+1$?
- 4.87. probléma* (ld. még 4.88; a könyv 203. oldalán): Adott a síkon háromnál több, de véges sok pont úgy, hogy közülük semelyik három nem esik egy egyenesre. Lehet-e minden esetben olyan kört találni, amely legalább három adott ponton átmegy, és amelynek belsejében egy sincs az adott pontok közül?
- 4.88. probléma** (ld. még 4.87; a könyv 204. oldalán): Adott a síkon $2n+3$ pont úgy, hogy közülük semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre és semelyik négy nem illeszkedik egy körre. Mutassuk meg, hogy van olyan kör, amelyik illeszkedik három adott pontra, és felezi a ponthalmazt abban az értelemben, hogy a belsejében is, és rajta kívül is pontosan $n$ darab pont található az adott pontok közül!
- 4.89. probléma** (ld. még 4.88; a könyv 206. oldalán): Adott a síkban $2n$ pont úgy, hogy nincs közöttük három, amelyek egy egyenesre illeszkednek. Bizonyítsuk be, hogy azon egyenesek száma, amelyek pontosan két adott pontra illeszkednek és felezik az adott ponthalmazt $($az általuk meghatározott mindkét félsíkban pontosan $n-1$ adott pont van$)$ legfeljebb $2n\sqrt{2n}$!