Matematikai Problémakalauz I.
Kosztolányi József,
Makay Géza,
Pintér Klára,
Pintér Lajos.
A "Azonosságok és egyenletek" fejezetben levő problémák:
- 2.1. probléma (ld. még 2.2, 2.3; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a).$$
- 2.2. probléma (ld. még 2.1, 2.3, 2.4, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2=(ay-bx)^2.$$
- 2.3. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.4, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bz-cy)^2+(cx-az)^2+ (ay-bx)^2.$$
- 2.4. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.5; a könyv 21. oldalán): Igazoljuk a következő azonosságot: $$\eqalign{&(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+u^2)-(ax+by+cz+du)^2\cr &=(ay-bx)^2+ (az-cx)^2+(au-dx)^2+(bz-cy)^2+(bu-dy)^2+(cu-dz)^2.\cr}$$
- 2.5. probléma (ld. még 2.1, 2.2, 2.3, 2.4; a könyv 21. oldalán): \'Irjunk fel olyan azonosságot, amelynek speciális eseteként adódik a \prob{pl5}., \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ példa. Igazoljuk is a felírt azonosságot!
- 2.6. probléma (ld. még 2.2, 2.5; a könyv 22. oldalán): A \prob{pl5}.\ példából következik, hogy tetszőleges $a$, $b$, $x$, $y$ valós számok esetén $$(ax+by)^2\leq(a^2+b^2)(x^2+y^2).$$ Fogalmazzunk meg hasonló egyenlőtlenségeket a \prob{pl6}., \prob{pl7}.\ és a \prob{pl8}.\ példa azonosságainak a felhasználásával.
- 2.7. probléma (ld. még 2.8, 2.9; a könyv 22. oldalán): Igazoljuk, hogy $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc- ca).$$
- 2.8. probléma (ld. még 2.7, 2.9; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy $$ (a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c) (c+a)=2(a^3+b^3+c^3-3abc).$$
- 2.9. probléma* (ld. még 2.8; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy {\openup\jot \mitem{a)} $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3-3(a-b)(b-c)(c-a)=0;$ \mitem{b)} $(a^2-bc)^3+(b^2-ac)^3+(c^2-ab)^3-3(a^2-bc) (b^2-ac)(c^2-ab)=(a^3+b^3+c^3-3abc)^2;$ \mitem{c)} $(a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3-3(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=$ $4(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{d)} $(3a-b-c)^3+(3b-c-a)^3+(3c-a-b)^3-3(3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)=$ $16(a^3+b^3+c^3-3abc);$ \mitem{e)} $(4a-b-c)^3+(4b-c-a)^3+(4c-a -b)^3-3(4a-b-c)(4b-c-a)(4c-a-b)=$ $50(a^3+b^3+c^3-3abc).$\par}
- 2.10. probléma (ld. még 2.9; a könyv 23. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $$x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2=x+y+z=1,$$ akkor $xyz=0$.
- 2.11. probléma (a könyv 24. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $$a_1^2+b_1^2=1,\quad a_2^2+b_2^2=1,\quad a_1a_2+b_1b_2=0,$$ akkor $$a_1^2+a_2^2=1,\quad b_1^2+b_2^2=1,\quad a_1b_1+a_2b_2=0.$$
- 2.12. probléma (ld. még 2.9; a könyv 24. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\in \nn^+$, akkor $$nx^{n+1}- (n+1)x^n+1$$ osztható $(x-1)^2$-nel!
- 2.13. probléma (a könyv 25. oldalán): Elő lehet-e állítani az $$xy(7x-2)(5y+2)$$ kifejezést $P^2(x,y)-Q^2(x,y)$ alakban, ahol $P$ és $Q$ az $x$ és $y$ polinomja és az együtthatók egész számok?
- 2.14. probléma (ld. még 2.9; a könyv 25. oldalán): \'Irjuk egyszerűbb alakba a következő törteket $($anélkül, hogy külön kiírnánk, kizárjuk azokat az értékeket, ahol a nevező $0)$: {\openup\jot \mitem{a)} $\displaystyle{1\over{(a+b)^2}}{\left({1\over{a^2}}+{1\over{b^2}}\right)}+ {2\over{(a+b)^3}}{\left({1\over a}+{1\over b}\right)}$ \mitem{b)} $\displaystyle{{a+b}\over{ax+by}}+{{a-b}\over{ax-by}}+{{2(a^2x+ b^2y)}\over{a^2x^2+b^2y^2}}-{{4(a^4x^3-b^4y^3)}\over{a^4x^4- b^4y^4}}$ \mitem{c)} $\displaystyle{a\over{a^3+a^2b+ab^2+b^3}}+{b\over{a^3-a^2b+ab^2-b^3}} +{1\over{a^2-b^2}}-{1\over{a^2+b^2}}-{{a^2+3b^2}\over{a^4-b^4}}$ \mitem{d)} $\displaystyle{1\over{a(a-b)(c-a)}}+{1\over{b(a-b)(b-c)}}+{1\over {c(c-a)(b-c)}}$ \mitem{e)} $\displaystyle{{a^2-b^2}\over{(a+b)^2}}+{{b^2-c^2}\over{(b+c)^2}}+ {{c^2-a^2}\over{(c+a)^2}}$ \mitem{f)} $\displaystyle{{bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{ca}\over{(b+c)(b+a)}}+ {{ab}\over{(c+a)(c+b)}}+{{2abc}\over{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ \mitem{g)} $\displaystyle{{a^2-bc}\over{(a+b)(a+c)}}+{{b^2-ac}\over{(b+ c)(b+a)}}+{{c^2-ab}\over{(c+a)(c+b)}}$ \mitem{h)} $\displaystyle{{(a-x)(a-y)(a-z)}\over{(a-b)(a-c)}}+{{(b-x)(b- y)(b-z)}\over{(b-c)(b-a)}}+{{(c-x)(c-y)(c-z)}\over{(c- a)(c-b)}}$\par}
- 2.15. probléma* (ld. még 2.8, 2.9, 2.16; a könyv 26. oldalán): Legyen $$t_n={{a^n}\over{(a-b)(a-c)}}+{{b^n}\over{(b-a)(b- c)}}+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)}}.$$ Számítsuk ki $t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$ és $t_4$-et.
- 2.16. probléma (ld. még 2.15; a könyv 27. oldalán): Legyen $$\eqalign{s_n&={{a^n}\over{(a-b)(a-c)(a-d)}}+{{b^n}\over{(b-a) (b-c)(b-d)}}\cr &\qquad+{{c^n}\over{(c-a)(c-b)(c-d)}}+{{d^n}\over{(d-a) (d-b)(d-c)}}.\cr}$$ Mutassuk meg, hogy $s_0=s_1=s_2=0$, $s_3=1$, $s_4=a+b+c+d.$
- 2.17. probléma* (a könyv 27. oldalán): Az $a$, $b$, $c$ olyan valós számok, hogy $$ {{b^2+c^2-a^2}\over{ 2bc}}+{{c^2+a^2-b^2}\over{2ac}}+{{a^2+b^2-c^2}\over{2ab}}=1.$$ A bal oldalon levő összeadandókról tudunk-e ekkor valami speciálisat állítani? Például: mindegyik $1/3$ kell legyen, vagy mindegyik pozitív, vagy kettő közülük $1$, a harmadik pedig $-1,$ vagy bármely olyan hármas előfordulhat, amely összegül $1$-et ad, vagy valami olyan tulajdonság érvényes, ami itt nincs felsorolva?
- 2.18. probléma (ld. még 2.9; a könyv 28. oldalán): \'Irjuk fel egyszerűbb alakban a következő kifejezéseket: {\openup\jot \mitem{a)}$\displaystyle{n^3-3n-2+(n^2-1)\sqrt{n^2-4}\over n^3-3n+ 2+(n^2-1)\sqrt{n^2-4}}$ \mitem{b)} $\displaystyle\left({ \sqrt{1+x}\over\sqrt{1+x}- \sqrt{1-x}}+{1-x\over\sqrt{1-x^2}-1+x}\right) \left(\sqrt{{1\over x^2}-1}-{1\over x}\right)$. Itt azt tesszük fel, hogy $0<x<1$. \mitem{c)} $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$ Itt legyen $x\geq 1$.\par}
- 2.19. probléma* (a könyv 29. oldalán): Előállítható-e a $\root 3\of 2$ szám $a+b\sqrt r$ alakban, ahol $a$, $b$, $r$ racionális számok?
- 2.20. probléma* (ld. még 2.19; a könyv 29. oldalán): Döntsük el, hogy a $$\root 3\of{\sqrt 5+2}-\root 3\of{ \sqrt 5-2}$$ szám racionális, vagy irracionális?
- 2.21. probléma* (ld. még 2.20; a könyv 30. oldalán): Vannak-e olyan $m$, $n$ nem-negatív egész számok, hogy \mitem{a)} $(5+3\sqrt2)^m=(3+5\sqrt2)^n;$ \mitem{b)} $(a+b\sqrt d)^m=(b+a\sqrt d)^n,$ ahol $a$, $b$ természetes számok, legnagyobb közös osztójuk $1$, $a\not =b,$ és $d>1$ olyan természetes szám, amelynek nincs négyzetszám osztója $($természetesen az $1$-en kívül$)$.\par
- 2.22. probléma (ld. még 2.23; a könyv 31. oldalán): Határozzunk meg \mitem{a)} olyan öt egymás után következő pozitív egész számot, amelyek összege teljes négyzet és teljes harmadik hatvány; \mitem{b)} olyan négy egymás után következő pozitív egész számot, amelyek összege teljes négyzet és teljes harmadik hatvány; \mitem{c)} olyan három egymás után következő pozitív egész számot, amelyek összege teljes négyzet és teljes harmadik hatvány.\par
- 2.23. probléma (ld. még 2.22; a könyv 31. oldalán): Lehet-e négyzetszám $2^n+3^n$, ha $n\in \nn$?
- 2.24. probléma* (ld. még 2.20, 2.21; a könyv 32. oldalán): Legyen $n$ és $m$ két különböző pozitív egész szám, egyik sem négyzetszám. Mi a feltétele annak, hogy létezzék olyan $k\in \nn^+,$ hogy $$\sqrt n+\sqrt m= \sqrt k$$ legyen?
- 2.25. probléma (ld. még 2.20; a könyv 32. oldalán): Igaz-e, hogy ha két racionális szám összege és szorzata is egész szám, akkor e számok egész számok?
- 2.26. probléma (a könyv 33. oldalán): Léteznek-e olyan $x$, $y$ irracionális számok, hogy $x^y$ racionális legyen?
- 2.27. probléma (a könyv 33. oldalán): Nyolc egymás után következő pozitív egész szám szorzata lehet-e teljes negyedik hatvány?
- 2.28. probléma* (ld. még 2.33; a könyv 34. oldalán): Igazoljuk, hogy végtelen sok $4n+3$ alakú prímszám van.
- 2.29. probléma (a könyv 34. oldalán): Tekintsük a $7^{972}$ számot a tizes számrendszerben. A szám első jegyét töröljük, és ezt a számjegyet hozzáadjuk a maradék számhoz. $($Ilyen eljárással pl. $235$-ből $35+2=37$ lesz.$)$ Addig folytatjuk ezt az eljárást, míg egy tízjegyű számot kapunk. Lehetséges-e, hogy mind a tíz jegy különböző legyen?
- 2.30. probléma* (ld. még 2.9; a könyv 35. oldalán): Az $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ egész számokról tudjuk, hogy összegük és négyzeteik összege is osztható az $n$ páratlan egész számmal. Igazoljuk, hogy akkor $$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$$ is osztható $n$-nel!
- 2.31. probléma (a könyv 36. oldalán): Állapítsuk meg $2n+3$ és $n+7$ legnagyobb közös osztóját, ha $n\in \nn.$
- 2.32. probléma (a könyv 36. oldalán): Bizonyítsuk be, hogy $n^2+3n+5$ egyetlen $n$ természetes szám esetén sem osztható $121$-gyel.
- 2.33. probléma (ld. még 2.28; a könyv 36. oldalán): Igaz-e, hogy végtelen sok olyan természetes szám van, amelyik nem állítható elő $p+m^2$ alakban, ahol $p$ prímszám, $m$ pedig természetes szám?
- 2.34. probléma (ld. még 2.35, 2.36; a könyv 37. oldalán): Mutassuk meg, hogy minden $n$ természetes szám esetén : {\openup\jot \mitem{a)} $9\oszt 4^n+15n-1;$ \mitem{b)} $27\oszt 10^n+18n-1;$ \mitem{c)} $64\oszt 3^{2n+3}+40n-27;$ \mitem{d)} $169\oszt 3^{3n+3}-26n-27;$ \mitem{e)} $25\oszt 2^{n+2}3^n+5n-4;$ \mitem{f)} $64\oszt 4\cdot3^{2n+2}+32n-36.$\par}
- 2.35. probléma** (ld. még 2.34, 2.36; a könyv 37. oldalán): Az előző példában levő hat feladat nagyon hasonló: mindegyik esetben $ab^n+cn+d$ alakú kifejezésnek valamely $m$ számmal való oszthatóságát kell igazolni minden $n$ természetes szám esetén. Milyen feltételeknek tegyenek eleget az $a$, $b$, $c$, $d$ egész számok, hogy az előbbi kifejezés $m$-mel osztható legyen? $m\oszt a+d$ például egy szükséges feltétele a kívánt oszthatóságnak. Elegendő is ez a feltétel? Keressünk szükséges és elegendő feltételt!
- 2.36. probléma* (ld. még 2.34, 2.35; a könyv 38. oldalán): Ha az előző példa feladatait $$m\oszt ab^n+cn+d$$ formában tekintjük, akkor azt vesszük észre, hogy mind a hat esetben $m\oszt c^2.$ Például {\rm b)}-ben $27\oszt 18^2.$ Vajon véletlen-e ez, vagy ha $m\oszt ab^n+cn+d$ minden $n\in \nn$ esetén, akkor $m\oszt c^2$ is igaz?
- 2.37. probléma* (a könyv 39. oldalán): Milyen $1$-nél nagyobb $m$ egész számokra igaz, hogy $m$ osztója az $1\cdot2\cdot3\cdots(m-1)$ szorzatnak?
- 2.38. probléma* (ld. még 2.37; a könyv 39. oldalán): \mitem{a)} Keressünk olyan $p$, $q$, $r$ prímszámokat, hogy $p^2=q^2+r^2$ legyen. \mitem{b)} Keressünk olyan $p$, $q$, $r$, $s$, $t$ prímszámokat, hogy $p^2+q^2=r^2+s^2+t^2$ legyen.\par
- 2.39. probléma* (a könyv 39. oldalán): Tudjuk, hogy $3025=(30+25)^2.$ Van-e még olyan négyjegyű egész szám, amelyik ugyanilyen tulajdonságú?
- 2.40. probléma* (ld. még 2.41; a könyv 40. oldalán): Az $a$, $b$, $c$, $d$ legyenek adott egész számok, és tegyük fel, hogy $a\not =0$, $bc-ad\not =0.$ Mutassuk meg, hogy akkor véges sok egész számokból álló olyan $(x,y)$ számpár van, amelyre $$axy+ bx+cy+d=0.$$
- 2.41. probléma (a könyv 41. oldalán): Három tanuló, $A$, $B$ és $C$, néhány tárgy mindegyikéből versenyt vív egymással. Egy-egy első, második, illetve harmadik helyért $x$, $y$ illetve $z$ pont jár, ahol $x$, $y$, $z$ pozitív egész számok és $x>y>z.$ Holtverseny nincs. Az $A$ tanuló $20$, a $B$ $10,$ a $C$ pedig $9$ pontot szerzett. Az $A$ tanuló algebrából második lett. Geometria tárgy is volt a versenyen. Az adatok alapján meg tudjuk-e mondani, hogy ki lett a második geometriából?
- 2.42. probléma (ld. még 2.40; a könyv 41. oldalán): Van-e az $$a^3+4a=b^2$$ egyenletnek pozitív egész $a$, $b$ számokból álló megoldása?
- 2.43. probléma* (a könyv 42. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket:$$\eqalign{&1+{1\over2}+{1 \over{1\cdot2}}=2,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over{1\cdot2}}+ {1\over{2\cdot3}}+{1\over{3\cdot1}}+{1\over{1\cdot2\cdot3}}=3,\cr &1+{1\over2}+{1\over3}+ {1\over4}+{1\over{1\cdot2}}+{1\over{1 \cdot3}}+\cdots+{1\over{2\cdot3\cdot4}}+{1\over{1\cdot2\cdot3\cdot4}}= 4.\cr}$$ Véletlen ez, amit észreveszünk, vagy általánosan is igaz? Fogalmazzuk meg pontosan a kérdést és azután próbáljuk megoldani!
- 2.44. probléma** (a könyv 43. oldalán): Mutassuk meg, hogy ha $n\geq3$ egész szám, akkor $$t={{(3n)!}\over {n!(n+1)!(n+2)!}}$$ egész szám.
- 2.45. probléma* (a könyv 45. oldalán): Az $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, $\ldots$ számsorozatot a következőképpen értelmezzük:$$x_1={1\over2},\quad x_{n+1}=x_n^2+x_n,$$ ha $n\in \nn^+.$ Állapítsuk meg az $$S={1\over{x_1+1}}+{1\over{x_2+1}}+\cdots+ {1\over{x_{100}+1}}$$ összeg egész részét!
- 2.46. probléma (ld. még 2.47; a könyv 45. oldalán): Ha $p$ és $q$ különböző prímszámok, akkor igaz-e, hogy végtelen sok $n$ természetes szám esetén lesz $(p+n,q+n)=1$?
- 2.47. probléma* (ld. még 2.46; a könyv 46. oldalán): Van-e olyan $p$ prímszám, amelyhez található olyan $k$ és $m$ természetes szám, $m>1$, hogy $2^p+3^p=k^m$?
- 2.48. probléma* (ld. még 2.49; a könyv 46. oldalán): Van-e $2000$ egymás után következő olyan természetes szám, hogy ezek mindegyikének létezik $a^{2000}$ alakú osztója? Itt természetesen $a>1$ pozitív egész szám, és $a^{2000}$ számonként változhat.
- 2.49. probléma* (ld. még 2.47, 2.48, 2.50; a könyv 46. oldalán): \mitem{a)} Létezik-e olyan $n$ természetes szám, hogy minden páros $k$ természetes szám esetén $$k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat egyetlen tagja sem osztható $n$-nel? \mitem{b)} Bármely $n$ természetes számhoz található olyan $k$ természetes szám, hogy a $$k+1, k^k+1, k^{k^k}+1, \ldots$$ végtelen sorozat minden tagja osztható $n$-nel.\par
- 2.50. probléma** (ld. még 2.47, 2.48, 2.49; a könyv 47. oldalán): Az $n^k$ alakú számokat, ahol $n>1$, $k>1$ természetes szám, hatványszámnak fogjuk nevezni. \mitem{a)} Létezik-e hatványszámokból álló $m$ tagú számtani sorozat? $(m$ tetszőleges pozitív egész szám.$)$ \mitem{b)} Létezik-e különböző hatványszámokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat? \mitem{c)} Létezik-e különböző számokból álló végtelen sok tagú számtani sorozat, amelynek egyetlen tagja sem hatványszám?\par
- 2.51. probléma* (a könyv 48. oldalán): Legyen $k$ és $m$ két különböző pozitív egész szám. Bizonyítsuk be, hogy a $2^k+2^m$ és a $3^k+3^m$ alakú számok között végtelen sok négyzetszám van. Igaz-e hasonló állítás a $4^k+4^m$, $5^k+5^m$, $6^k+6^m$, $7^k+7^m$ alakú számokra?
- 2.52. probléma* (a könyv 49. oldalán): Az $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $1989$ számok közül kiválasztjuk azokat, amelyek $2^a+2^b+2^c+2^d+2^e$ alakban előállíthatók, ahol $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ nem feltétlen különböző nemnegatív egész számok. Hány számot választottunk ki?
- 2.53. probléma (a könyv 50. oldalán): Jancsi gondolt egy egész számot $1$ és $31$ között. Pista feltehet Jancsinak kilenc kérdést. A kérdések olyanok, hogy mindegyikre a válasz \idez{igen}, vagy \idez{nem}. Jancsi egy kérdésre hamis választ adhat. Milyen kérdéseket tegyen fel Pista, hogy ki tudja találni azt a számot, amire Jancsi gondolt?
- 2.54. probléma (ld. még 2.55; a könyv 50. oldalán): \'Irjuk le az $$x^2+y^2=(x-y)^3$$ egyenlet összes $x$, $y$ egész számokból álló megoldását.
- 2.55. probléma* (ld. még 2.54; a könyv 51. oldalán): Milyen $x$, $y$, $z$ egész számokra lesz:$${{xy}\over z}+{{yz}\over x}+ {{zx}\over y}=3.$$
- 2.56. probléma* (ld. még 2.55; a könyv 51. oldalán): Melyek azok az egész számok, amelyek esetén $$3^x-2^y=1.$$
- 2.57. probléma** (a könyv 52. oldalán): Ez a példa a pozitív egész számok $($tizes számrendszerbeli$)$ megalkotásával foglalkozik. Tegyük fel, hogy eleve csak a $4$ adott és megengedett a következő három művelet: \mitem{a)} egy $0$-t írhatunk a meglevő szám végére, azaz $10$-zel szorozhatunk; \mitem{b)} egy $4$-est írhatunk a meglevő szám végére, azaz $10$-zel szorzunk és $4$-et hozzáadunk; \mitem{c)} ha a meglevő szám páros, felezhetünk.\par\noindent A kérdés most az, hogy az {\rm a), b), c)} tetszőlegesen sokszori alkalmazásával eljuthatunk-e minden pozitív egész számhoz?
- 2.58. probléma* (a könyv 53. oldalán): Van $m$ dobozunk, mindegyikben néhány labda. Legyen $n<m$ adott pozitív egész szám. Egy lépés a következőt jelenti: kiválasztunk tetszőlegesen $n$ dobozt, és mindegyikbe beleteszünk egy labdát. Mutassuk meg, hogy \mitem{a)} Ha $(m,n)=1,$ akkor lehetséges, hogy véges sok lépés után mindegyik dobozban ugyanannyi labda legyen. \mitem{b)} Ha $(m,n)\not =1,$ akkor lehetséges kezdetben labdákat úgy elhelyezni a dobozokban, hogy ezután véges sok lépéssel semmiképpen sem lehet elérni, hogy mindegyik dobozban ugyanannyi labda legyen.\par
- 2.59. probléma* (a könyv 54. oldalán): Teljes négyzet $2$, $3$, $7$ vagy $8$-ra nem végződhet. Mi lehet az utolsó előtti jegy? Tekintsük a következő négyzeteket: $10^2=100$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $16^2=256$, $8^2=64$, $26^2=576$, $9^2=81$, $14^2=196$. Utolsó előtti jegyként tehát $0$-tól $9$-ig minden egyjegyű szám felléphet. Most mutassuk meg, hogy az utolsó jegy előtt $101$ nem állhat!
- 2.60. probléma (ld. még 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 54. oldalán): Ha $a$, $b$, $c$ egy derékszögű háromszög oldalai $a$, $b$ a két befogó, $c$ az átfogó, akkor $a^2+b^2=c^2.$ Az $$x^2+y^2= z^2$$ egyenlet $a, b, c\in \nn^+$ megoldását pitagoraszi számhármasnak nevezzük. Ha itt $(a,b)=1,$ akkor $(a,c)=1$ és $(b,c)=1$ is teljesül. Az olyan $a$, $b$, $c$ pitagoraszi számhármast, amelyben szereplő bármely két szám legnagyobb közös osztója $1,$ alapmegoldásnak, vagy primitív megoldásnak nevezzük. $($Az előbbi megjegyzés szerint elegendő persze kikötni például azt, hogy $(a,b)=1.)$ Könnyű belátni, hogy az alapmegoldások ismeretében az összes megoldást ismerjük. Mutassuk meg, hogy ha $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet alapmegoldása, akkor $a$ és $b$ közül pontosan egyik páros szám!
- 2.61. probléma* (ld. még 2.60, 2.62, 2.63; a könyv 55. oldalán): Legyen $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet egy alapmegoldása, és tegyük fel, hogy $a$ páros. Akkor \mitem{a)} léteznek olyan $m, n\in \nn^+$ számok, hogy $m>n$ és $a=2mn$, $b=m^2-n^2$, $c=m^2+n^2$; \mitem{b)} $(m,n)=1;$ \mitem{c)} $m$ és $n$ különböző paritásúak.\par
- 2.62. probléma* (ld. még 2.60, 2.61, 2.63; a könyv 55. oldalán): Ha $m, n\in \nn^+$ és $$a=2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2,$$ akkor $a$, $b$, $c$ az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet megoldása. Ha még az is igaz, hogy $(m,n)= 1$, $m$, $n$ különböző paritású, és $m>n,$ akkor $a$, $b$, $c$ az egyenlet alapmegoldása.
- 2.63. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62; a könyv 55. oldalán): Az $x^2+y^2=z^2$ egyenlet összes $x=a$, $y=b$, $z=c$ megoldása, ahol $a, b, c\in \nn^+,$ $a$ páros szám és $a$, $b$, $c$-nek nincs $1$-nél nagyobb közös osztója, megadható az $$a=2mn,\quad b=m^2-n^2,\quad c=m^2+n^2$$ alakban, ahol $m, n\in \nn^+$, $(m,n)=1$, $m>n$ és nem mindkettő páratlan.
- 2.64. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63; a könyv 56. oldalán): A következő táblázat néhány alapmegoldást szolgáltat: $$\matrix{ m & n & a & b & c \cr 2 & 1 & 4 & 3 & 5 \cr 3 & 2 & 12 & 5 & 13 \cr 4 & 1 & 8 & 15 & 17 \cr 4 & 3 & 24 & 7 & 25 \cr 5 & 2 & 20 & 21 & 29 \cr 5 & 4 & 40 & 9 & 41 \cr 6 & 1 & 12 & 35 & 37 \cr 6 & 5 & 11 & 60 & 61. \cr }$$ Ezekből a példákból azt vesszük észre, hogy \mitem{a)} $12\oszt ab$ és \mitem{b)} $a$, $b$, $c$ közül az egyik osztható $5$-tel.\par\noindent Vajon ezek az észrevételek érvényesek-e minden alapmegoldásra?
- 2.65. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64; a könyv 57. oldalán): Tekintsük a következő egyenlőségeket: $4^2+3^2=5^2$, $12^2+ 5^2=13^2$, $24^2+7^2=25^2$, $40^2+9^2=41^2$, $60^2+11^2=61^2$. Próbáljunk e példák, az ezekből leolvasható tulajdonságok alapján egy állítást megfogalmazni!
- 2.66. probléma (ld. még 2.60, 2.61, 2.62, 2.63, 2.64, 2.65; a könyv 57. oldalán): Az előző példában végtelen sok olyan pitagoraszi számhármast adtunk meg, amelyekben az egyik befogó és az átfogó szomszédos egész számok. Felsoroltuk-e az előbbi módon az összes ilyen tulajdonságú pitagoraszi számhármast?
- 2.67. probléma (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): Igaz-e, hogy $3$, $4$, $5$ az egyetlen olyan pitagoraszi számhármas, amely egymás után következő természetes számokból áll?
- 2.68. probléma (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): $3^2+4^2=5^2$, $20^2+21^2=29^2$, $119^2+120^2=169^2$, azaz ilyen alakúak: $a^2+(a+1)^2=c^2.$ Vajon végtelen sok természetes számokból álló olyan $a$, $c$ számpár létezik-e, amelyekre $$a^2+(a+1)^2= c^2.$$
- 2.69. probléma** (ld. még 2.66; a könyv 58. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy az $X^4-Y^4=Z^2$ egyenletnek nincs $0$-tól különböző egész számokból álló megoldása. \mitem{b)} Lehet-e pitagoraszi háromszög területe egész szám négyzete? \mitem{c)} Van-e az $X^4+Y^4=Z^4$ egyenletnek $0$-tól különböző egész számokból álló megoldása? \mitem{d)} Legendre-tól származik a következő példa: Ha az $x$, $y$, $z$ egészek, $0$-tól különbözőek és $x^4+y^4= 2z^2,$ akkor $x^2=y^2$ és $z^2=x^4.$ \mitem{e)} Mutassuk meg, hogy ha $x$, $y$, $z$ a $0$-tól különböző egész számok és $2x^4+2y^4=z^2,$ akkor $x^2=y^2$ és $z^2=4x^4.$ \mitem{f)} Mutassuk meg, hogy a $4x^4-1=3y^4$ egyenletnek egész számokból álló megoldása csak $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$.\par
- 2.70. probléma** (ld. még 2.66, 2.69; a könyv 60. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy nem léteznek olyan $x$, $y$, $u$, $v$ pozitív egész számok, hogy $$x^2+y^2=u^2+v^2,\quad xy=2uv.$$ \mitem{b)} Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan pozitív egész $x$, $y$, $z$ számok, hogy $$x^6+y^6=z^6.$$
- 2.71. probléma** (ld. még 2.70; a könyv 62. oldalán): Felírhatók-e a \mitem{a)} $8k+3$, \mitem{b)} $8k+5$, \mitem{c)} $8k+1$\par\noindent alakú számok $x^2-2y^2$ alakban, ahol $k$, $x$, $y$ természetes számok?
- 2.72. probléma (ld. még 2.70; a könyv 63. oldalán): Pali ezt írta Petinek: \idez{Sikerült találnom az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek egy olyan megoldását, amelyben $x$, $y$, $z$, $n$ pozitív egész számok és $z<n.$} Peti megvakarta a fejét és ezt mondta: \idez{Nahát ez a Pali be akart engem csapni.} Miért gondolt Peti erre?
- 2.73. probléma (a könyv 64. oldalán): Legyen $p$ egy $2$-nél nagyobb prímszám. Bizonyítsuk be, hogy ${2/ p}$ egy és csak egy módon írható a $${2\over p} ={1\over x}+{1\over y}$$ alakban, ahol $x$ és $y$ egymástól különböző pozitív egész számok!
- 2.74. probléma* (ld. még 2.63; a könyv 64. oldalán): Mutassuk meg, hogy az $$x^2-Dy^2=z^2$$ egyenletnek, bármely $D$ egész szám esetén, végtelen sok $x$, $y$, $z$ megoldása van a természetes számok körében!
- 2.75. probléma* (ld. még 2.74; a könyv 65. oldalán): Mutassuk meg, hogy az $$x^2-Dy^2=1,\quad D=m^2+1,\quad m\in \nn^+,$$ egyenletnek végtelen sok $x$, $y$ megoldása van a természetes számok körében!
- 2.76. probléma* (a könyv 65. oldalán): A tízes számrendszerben írjuk fel a pozitív egész számokat. Az a kérdés, hogy vajon van-e végtelen sok olyan pozitív egész szám, amelyik azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy egy jegyét megváltoztatva nem kaphatunk prímszámot?
- 2.77. probléma* (a könyv 66. oldalán): Három, páronként különböző prímszám köbgyökei lehetnek-e egy számtani sorozat $($nem feltétlenül egymás után következő$)$ tagjai?
- 2.78. probléma (a könyv 66. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $\displaystyle{{x-ab}\over{a+b}}+{{x-ac}\over{a+c}}+ {{x-bc}\over{b+c}}=a+b+c$ \mitem{b)} $\displaystyle{{x-a}\over{bc}}+{{x-b}\over{ca}}+ {{x-c}\over{ab}}=2\left({1\over a}+{1\over b}+{1\over c}\right)$ \mitem{c)} $\displaystyle{{a+b-x}\over c}+{{a+c-x}\over b}+ {{b+c-x}\over a}+{{4x}\over{a+b+c}}=1$\par}
- 2.79. probléma (a könyv 68. oldalán): Melyik nagyobb $x$, vagy $y$, ha $$x+x^2+4x^3=y+y^2+y^3+y^4+4y^5=2.$$
- 2.80. probléma (ld. még 2.78; a könyv 69. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $(a^2-b^2)x^2-2ax+1=0;$ \mitem{b)} $\displaystyle{x-a\over x-b}+{x-b\over x-a}+2=0$ \mitem{c)} $\displaystyle{x\over x-a}-{{2a}\over x+a}={{8a^2}\over x^2-a^2}$ \mitem{d)} $\displaystyle{x-a\over x-b}-{x-b\over x-a}+{{4ab}\over a^2-b^2}=0$ \mitem{e)} $\displaystyle{(x-a)(x-c)\over (b-a)(b-c)}+{{(x-b)(x-c)}\over (a-b)(a-c)}=1,$ $a\not =b$, $b\not =c$, $c\not =a;$ \mitem{f)} $(a^2+b^2+c^2)x^2+2(a+b+c)x+3=0;$ \mitem{g)} $\displaystyle{1\over x}+{1\over a}+{1\over b}={1\over x+a+b},$ $ab\not =0;$ \mitem{h)} $(c+a-2b)x^2+(a+b-2c)x+b+c-2a=0;$ \mitem{i)} $\displaystyle{a\over a+x}+{b\over b+x}={{(a+b)^2} \over ab}$, $ab\not =0;$ \mitem{j)} $a(a+1)x^2+x-a(a-1)=0.$\par}
- 2.81. probléma (ld. még 2.80; a könyv 70. oldalán): Tegyük fel, hogy $a$, $b$, $c$ páronként különböző valós számok és $c\not=0.$ Igazoljuk, hogy ha az $x^2+ax+bc=0$ és az $x^2+bx+ca=0$ egyenletnek egy közös gyökük van, akkor a másik két gyök az $x^2+cx+ab=0$ egyenlet gyöke.
- 2.82. probléma (a könyv 71. oldalán): Adott az $f\colon\rr\rightarrow \rr$, $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$, $n\in \nn^+,$ függvény, ahol az $a_i$ számok, $i=1,2,\ldots,n$, egészek. Tegyük fel, hogy az $f(x)=1$ egyenletnek van négy páronként különböző egész gyöke: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4.$ Létezik-e olyan $x_0$ egész szám, hogy $f(x_0)=-1$ legyen?
- 2.83. probléma (a könyv 71. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: \mitem{a)} $x^3-9x+8=0,$ \mitem{b)} $x^3-2x^2+3x-6=0,$ \mitem{c)} $6x^4+x^3-4x^2-4x+1=0.$\par
- 2.84. probléma (a könyv 72. oldalán): Legyenek $x_1$ és $x_2$ az $x^2-6x+1=0$ egyenlet gyökei. Mutassuk meg, hogy minden $n\in \nn^+$ esetén $x_1^n+x_2^n$ egész szám és nem osztható $5$-tel.
- 2.85. probléma (a könyv 72. oldalán): Oldjuk meg az $x^4+1=2(x+1)^4$ egyenletet.
- 2.86. probléma* (a könyv 73. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: {\openup\jot \mitem{a)} $x(x+y+z)=a^2$, $y(x+y+z)=b^2$, $z(x+y+z)=c^2;$ \mitem{b)} $x(x+y+z)=a-yz$, $y(x+y+z)=b-zx$, $z(x+y+z)=c-xy;$ \mitem{c)} $y+2x+z=a(y+x)(z+x)$, $z+2y+x=b(z+y)(x+y)$, $x+2z+y=c(y+z)(x+z);$ \mitem{d)} $x+y+xy=a$, $y+z+yz=b$, $z+x+zx=c;$ \mitem{e)} $x^2+y^2=cxyz$, $y^2+z^2=bxyz$, $z^2+x^2=axyz;$ \mitem{f)} $x^3=ax+by$, $y^3=bx+ay;$ \mitem{g)} $x^2+y^2+xy=c^2$, $z^2+x^2+xz=b^2$, $y^2+z^2+yz=a^2;$ \mitem{h)} $x+y+z=a$, $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x^3+y^3+z^3=a^3.$\par}
- 2.87. probléma* (ld. még 2.85; a könyv 75. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$; \mitem{b)} $\root3\of{a+\sqrt{x}}+\root3\of{a-\sqrt{x}}=\root3\of{b}$; \mitem{c)} $\displaystyle{{(a-x)\sqrt{a-x}-(b-x)\sqrt{x-b}}\over {\sqrt{a-x}+\sqrt{x-b}}}=a-b$ \mitem{d)} $\displaystyle{{\sqrt{a+x}}\over{\sqrt a+\sqrt{a+x}}}= {{\sqrt{a-x}}\over{\sqrt a-\sqrt{a-x}}}$}
- 2.88. probléma* (a könyv 77. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: {\openup\jot \mitem{a)} $\log_{a^2}x+\log_{x^2}a=1$, $a>0$, $a\not=1;$ \mitem{b)} $\log_ax\log_bx=\log_ab$, $a>0$, $b>0$, $a\not=1$, $b\not=1;$ \mitem{c)} $x^{\lg x}=100x;$ \mitem{d)} $\lg\sqrt{1+x}+3\lg\sqrt{1-x}=\lg\sqrt{1-x^2}+2;$ \mitem{e)} $\log_a\sqrt{1+x}+3\log_{a^2}(1-x)=\log_{a^4}(1-x^2)^2+2$, $a>0$, $a\not=1;$ \mitem{f)} $4^x-3^{x-{1/2}}=3^{x+{1/2}}-2^{2x-1};$ \mitem{g)} $2^x+2^{x-1}+2^{x-2}=7^x+7^{x-1}+7^{x-2};$ \mitem{h)} $x^y=y^x$, $a^x=b^y$, $a>0$, $b>0$, $a\not=1$, $b\not=1$, $x>0$, $y>0;$ \mitem{i)} $x^y=y^x$, $x^m=y^n.$\par}
- 2.89. probléma (a könyv 78. oldalán): Határozzuk meg az $${1\over{\sin 2x}}+{1\over{\sin 2^2x}}+\cdots+{1\over {\sin 2^nx}}$$ összeget, ha $x$ olyan, hogy $2^kx$ nem lesz a $\pi$ egész számú többszöröse, ha $1\leq k\leq n.$
- 2.90. probléma (a könyv 78. oldalán): Oldjuk meg a következő egyenleteket: \mitem{a)} $\sin x+\cos x=2;$ \mitem{b)} $\sin x+\cos x=1;$ \mitem{c)} $2 \sin x+5 \cos x=3;$ \mitem{d)} $a \sin x+b \cos x=c$, $a^2+b^2>0.$\par
- 2.91. probléma** (a könyv 79. oldalán): Ez a példa egy matematika-történeti érdekesség is. Ramanujan a világ egyik legnagyobb matematikusa írta le valamelyik jegyzetfüzetébe a következő azonosságot:\par\noindent Ha $ad=bc,$ akkor $$\eqalign{64((b+c+d)^6&-(a+c+d)^6-(a+b+d)^6+(a+b+c)^6+(a-d)^6- (b-c)^6)\cr &\quad\times((b+c+d)^{10}-(a+c+d)^{10}-(a+b+d)^{10}+(a+b+c)^{10}\cr &\quad+ (a-d)^{10}-(b-c)^{10})\cr &=45((b+c+d)^8-(a+c+d)^8-(a+b+d)^8+(a+b+c)^8\cr &\quad+ (a-d)^8-(b-c)^8)^2.\cr}$$\par\noindent Az igazán fő kérdésünk az, hogy hogyan lehetett erre rájönni?
- 2.92. probléma** (a könyv 81. oldalán): Legyen $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$, $n\in \nn^+$, $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$ adott komplex számok. Az algebra alaptétele azt állítja, hogy létezik olyan $z_0$ komplex szám, hogy $P(z_0)=0.$
- 2.93. probléma** (a könyv 84. oldalán): \mitem{a)} Mutassuk meg, hogy ha $|x|\leq1$ esetén $|ax^2+bx+c|\leq1$, akkor ugyanitt $|cx^2-bx+a|\leq 4$ érvényes. \mitem{b)} Legyen $F(x)=ax^2+bx+c$, $G(x)=cx^2+bx+a,$ tegyük fel továbbá, hogy $|F(0)|\leq1$, $|F(1)|\leq1$, $|F(-1)|\leq1.$ Mutassuk meg, hogy ekkor $|x|\leq1$ esetén $$|F(x)|\leq{5\over4},\quad |G(x)| \leq2.$$
- 2.94. probléma** (a könyv 85. oldalán): Létezik-e olyan $P(x)$ polinom, amelyiknek legalább egy negatív együtthatója van, de $P^n(x)$-nek minden $n>1$, $n\in \nn^+$ esetén csak pozitív együtthatói vannak?
- 2.95. probléma** (a könyv 86. oldalán): Fermat utolsó tétele {\rm (FLT)} azt mondja, hogy ha $n\in \nn^+$, $n\geq3,$ akkor az $$x^n+y^n=z^n$$ egyenletnek nincs pozitív egész számokból álló $x$, $y$, $z$ megoldása. A bizonyítást Fermat nem írta le. Ez a Fermat sejtésnek is nevezett feladat a matematika egyik leghíresebb problémája lett, amit sok részeredmény után A.\ Wiles az utóbbi években megoldott. Egy nagyon nevezetes részeredményt G.\ Faltings kapott $1983$-ban. Ez azt mondja, hogy minden $n\in \nn^+$, $n\geq3$ esetben a Fermat egyenletnek csak véges sok primitív megoldása lehet. $($Faltings ezért az eredményért Fields érmet kapott, ami a matematikai Nobel díjnak felel meg.$)$ Egy $x$, $y$, $z$ megoldást primitívnek nevezünk, ha $x$, $y$, $z$-nek nincs $1$-nél nagyobb közös osztója. Faltings is és Wiles is eredményeiket nagyon mély matematikai fogalmak és tételek segítségével nyerték. Most fogadjuk el Faltings tételét és ennek segítségével mutassuk meg, hogy \mitem{a)} Minden páratlan $p$ prímszám esetén van olyan $M>0$ szám, hogy ha $k\in \nn^+$ és $n=pk>M,$ akkor {\rm FLT} igaz. \mitem{b)} Az a) pont segítségével adjunk meg végtelen sok olyan $n$ kitevőt, hogy ezek közül bármelyik kettő relatív prím szám, és {\rm FLT} mindegyik ilyen $n$ esetén igaz.\par
- 2.96. probléma** (a könyv 87. oldalán): Ha $n\in \nn^+$ és $n>2,$ akkor az $x^n+y^n=z^n$ egyenletnek nincs egész számokból álló olyan megoldása, ahol $xyz=0.$ Ez a híres Fermat sejtés, vagy Fermat utolsó tétele {\rm (FLT)}. Fermat maga Diofantosz könyve egyik lapjának margójára azt írta, hogy erre egy igazán gyönyörű bizonyítást talált, de a hely túl kicsi, hogy oda azt leírja. Azóta is sokan keresték ezt a bizonyítást, de senki sem találta. Magát a sejtést az utóbbi években A.\ Wiles igazolta, de olyan eszközökkel, amelyeket Fermat biztosan nem ismert. Euler is tett kísérletet Fermat \idez{bizonyításának} újra felfedezésére. Ezt az ---eredménytelen--- kísérletet itt ismertetjük, mert nagyon tanulságosnak tartjuk.