Tanszékeink bemutatkozása

A Bolyai Intézetet hat tanszék alkotja, ezekről közlünk a következő oldalakon rövid ismertetőket.


 Algebra és Számelmélet Tanszék

Miért a prímszámoktól függ a bankszámlánk biztonsága, és mennyi idõ alatt lehet egy ötszáz jegyû prímszámot találni? Hogyan lehet „fej vagy írás” játékot játszani telefonon? Megoldhatók-e a kettõnél magasabb fokú egyenletek? Megszerkeszthetõ-e az ABC derékszögû háromszög a befogó és az fa szögfelezõ hosszából? Mi a kapcsolat az n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer és az n-dimenziós parallelepipedon térfogata között? A 441 és a 422 közül melyik sorozatot képes egy zsonglõr „lejátszani” (ahhoz hasonlóan, ahogyan a zenész a kottát)? Íme néhány azon nagyszámú izgalmas kérdés közül, amelyekre a Tanszék által oktatott tárgyak adnak választ, és amelyekkel a leendõ matematikatanár is színesebbé teheti az óráit. Az oktatás mellett a Tanszéken univerzális algebra, félcsoportelmélet és hálóelmélet témában folyik kutatás. Errõl a Tanszék tagjainak honlapjai, valamint a két-három évente Szegeden megrendezett nemzetközi konferenciák tanúskodnak.


  Alkalmazott és Numerikus Matematika Tanszék

Az alkalmazott matematika a matematikai ismereteknek más területeken (pl. fizika, kémia, biológia, közgazdaságtan, informatika, stb.) történõ felhasználásával foglalkozó ága a matematikának. A matematika mind szélesebb körû alkalmazhatóságának az alapja az a tény, hogy a matematika nyelvezete a legalkalmasabb bonyolult rendszerek viselkedésének tiszta formalizálására, azaz modellezésére. Egy matematikai modell általában változókat és a változók közötti kapcsolatokat leíró egyenleteket tartalmaz. A modellegyenletek számítógépes vizsgálatának elméleti alapja a numerikus matematika. Egy-egy modell megértéséhez gyakran a matematika több ágának felhasználására is szükség van. A matematika alkalmazásának számos sikertörténetét ismerhetik meg a hallgatók a különbözõ kurzusokon.

Az alkalmazott és tiszta matematika között nincs éles határvonal. Megjósolhatatlan, hogy egy ma még tiszta, teljesen alkalmazhatatlannak tartott matematikai eredmény mikor válik alkalmazhatóvá (pl. a kriptográfia alapjait jelentõ számelméleti eredményeket 30 éve még mindenki tisztán elméleti érdekességnek tekintette). Másrészt viszont az egyre szélesebb körû alkalmazások új matematikai problémák megfogalmazását eredményezik, számos új kutatási irány létrejöttét motiválják.


 Analízis Tanszék

A tanszék a függvényekrõl szóló tárgyakat oktatja. Az alapozó félévekben ez a differenciál- és integrálszámítást jelenti. Ez lehetõvé teszi a függvények vizsgálatát (analízisét), amelynek során azt lehet megállapítani, milyen a függvény menete (pl. monotonitás, konvexitás), hol van szélsõértéke, és így tovább. Lehetõséget ad továbbá a különbözõ tudományokban alapvetõ fogalmak pontos megalkotására (pl. sebesség, gyorsulás, tehetetlenségi nyomaték, koncentráció, szaporodási ráta, termelés hatékonysága). Késõbb sor kerül az erre alapuló, ezt továbbfejlesztõ elméletekre, illetve az alkalmazott tárgyakra. Például a differenciálegyenletes tárgyak az idõben lejátszódó folyamatokat tárgyalják. Ennek megvilágítására megemlítjük a következõ egyszerû kérdést, amit már az elsõ foglalkozások során meg tudunk válaszolni: ha kézbe kapunk egy ismeretlen hõmérõt, és kivisszük a szabadba, akkor hány  különbözõ idõpontban történõ leolvasásból tudjuk megállapítani, hogy mekkora az állandónak feltételezett külsõ hõmérséklet? Egy másik, kicsit komolyabb kérdés: milyen feltételeknek kell teljesülni a keresletre és kínálatra a piacon, hogy a kereskedés stabilis legyen?

A tanszék kutatási területei: Fourier-sorok, approximációelmélet, differenciálegyenletek, funkcionálanalízis, a matematika oktatásának modern problémái.

 


 Geometria Tanszék

A geometria a tér tudománya. A tanszék óráin olyan kérdésekre kapnak választ hallgatóink, hogy miért éppen három dimenzióban élünk, miért lehetetlen torzításmentes térképet csinálni, mennyi lámpa kell egy zegzugos terem bevilágítására, hogyan kell a számítógéppel térbeli formákat rajzoltatni, vagy mennyi busz kell az optimális menetrendhez és hogyan függ ez össze napjaink legmodernebb titkosítási eljárásaival.

Bár a geometriát már a görögök elõtt is érdemben kutatták, ma is jelentõs iramban fejlõdõ kutatási terület, hiszen például a fentebb leírt kérdések többsége még 60 éves sincs, az esetenként pedig  még mindig nem teljesen ismert válaszok ennél is fiatalabbak.

A tanszéken folyó kutatások is a fentiekhez hasonló problémákat céloznak, amelyek között a jobban érdeklõdõ hallgatóink is megtalálják a képességeiknek megfelelõ, érdekes, feldolgozni vagy kutatni való témákat.


 

Halmazelmélet és Matematikai Logika Tanszék

A halmazelméletet és matematikai logikát a matematika alapjainak is nevezik. Ezek adják azt a keretet, amiben a többi matematikai diszciplina tárgyalható. Emellett azt is vizsgálják, hogy ez a tárgyalás milyen módon történik, azaz gondolkodásunk milyen módon formalizálható. Olyan alapvetõ kérdések kerülnek megválaszolásra, mint hogy van-e különbség végtelen és végtelen között; mi az, hogy valami kiszámítható; mechanizálható-e gondolkodásunk, pl. gyártható-e számítógép ami mindent bebizonyít; igaz-e, ami bizonyítható és bizonyítható-e, ami igaz; csak egyféle matematika (világ) létezik-e, vagy vannak lényegesen különbözõ modellek? Mint kiderül, a végtelennek igen gazdag hierarchiája van, de a végtelen nagyon meglepõ dolgokat is produkálhat, például két különbözõ méretû gömb véges sok darabbal egymásba darabolható.

A tanszék kompetenciájába tartozik a kombinatorika és gráfelmélet oktatása is. Ezek közkedvelt, viszonylag fiatal matematikai diszciplinák amelyek az informatikában (algoritmusok, hálózatok, bonyolultságelmélet) is egyre fontosabb szerepet játszanak.


 Sztochasztika Tanszék

A sztochasztika a véletlen tömegjelenségek és folyamatok körében mutatkozó törvényszerûségek matematikai leírására és modellezésére szolgáló területek összefoglaló neve. Az ilyen irányú matematikai gondolkodás Pascal (1623-1662) és Fermat (1601-1665) 1654-ben lezajlott nevezetes levelezésével vette kezdetét. Az eredetileg sejtés vagy elõrejelzés jelentésû sztochasztika szót Jacob Bernoulli (1654-1705) adaptálta az ógörögbõl "Ars conjectandi" (a sejtés mûvészete) címû latin nyelvû mûvében, a szó melléknévi alakja mára a véletlen szinonímájává vált. Az ide tartozó fõ tárgyakat a tanszék valószínûségszámítás, valószínûségelmélet, sztochasztikus folyamatok, információelmélet és matematikai statisztika néven tanítja. Már a bevezetõ kurzus magába foglalja a nagy számok törvényét és a véletlen értékek haranggörbe-szerû eloszlásának jelenségét, késõbb a hallgató eljuthat például a Brown-mozgás matematikai leírásáig.

A tanszéki kutatások fõleg a valószínûségelmélet és a matematikai statisztika határeloszlásaira, valamint a statisztikus fizika és az ergodelmélet problémáira irányulnak.