Analízis ea. (informatikus)

Tanszék: Analízis Tanszék

Tematika:
A komplex számok teste. Korlátos, nyílt, illetve zárt halmazok. Folytonos függvények. Komplex értelemben vett differenciálhatóság, a holomorf függvények elemi tulajdonságai, a Cauchy-Riemann egyenletek. Sorok, abszolút konvergencia, konvergencia-kritériumok. Hatványsorok és tulajdonságaik, Cauchy-Hadamard tétel. Az exp, sin és a cos függvények. Síkbeli görbék ívhossza, görbe menti integrál. Összefüggő halmazok. Jordan tétel, egyszeresen összefüggő halmazok. Cauchy-féle integráltétel. Homotóp görbék, integrálási kontúrok deformációja. Morera tétel. Cauchy-féle integrálformula. Taylor-féle sorfejtés. Cauchy-féle egyenlőtlenségek, Liouville tétel, az algebra alaptétele. Laurent-féle sorfejtés. Az izolált szinguláris helyek osztályozása. Reziduum tétel és alkalmazásai. Halmazalgebrák, mérhetőségi terek. Borel halmazok az egyenesen. Mértékek és tulajdonságaik. Külső mértékek, a Lebesgue-féle külső mérték. Mérték konstrukciója külső mértékből. A Lebesgue mérték és tulajdonságai. Véges Borel mértékek az egyenesen, és az eloszlásfüggvények. Mérhető függvények és tulajdonságaik. Mérhető egyszerű és mérhető nemnegatív függvények integráljai. Monoton konvergencia tétel, Fatou lemma. Komplex értékű integrálható függvények tere. Majoráns konvergencia tétel. A Riemann integrál és a Lebesgue integrál kapcsolata. Paraméteres integrálok és alkalmazásaik. Normált terek, Banach terek, Lp terek. Belső szorzatterek, Hilbert terek, L2 terek. Ortonormált rendszerek és ortonormált bázisok Hilbert terekben. Ortonormált bázisra vonatkozó Fourier transzformáció. Periodikus jelek, trigonometrikus rendszer, a klasszikus Fourier transzformáció. A Fourier együtthatók kiterjesztése az L1 térre, Riemann-Lebesgue lemma. Fourier sorok pontonkénti konvergenciája, Dini tétel.

Előfeltétel: nincs.

Helyettesítő tárgyak: nincsenek.

Előadások:
Kurzuskód: MMN102E Kredit: 3 Óraszám: 2 hetente
Kurzuskód: MML102E Kredit: 3 Óraszám: 12 félévente

Gyakorlatok:
Kurzuskód: MMN102G Kredit: 2 Óraszám: 2 hetente
Kurzuskód: MML102G Kredit: 2 Óraszám: 12 félévente