Alkalmazott algebra ea. (BSc 2015 elõtt)

Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék

Tematika:
Alterek direkt összege. Lineáris transzformációk és mátrixok sajátalterei. Euklideszi terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Önadjungált és ortogonális leképezések, ortogonális mátrixok. Spektráltétel és következményei kvadratikus alakokra és szimmetrikus mátrixokra. Polinommátrixok ekvivalenciája, hasonló mátrixok, lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley--Hamilton-tétel, Jordan-féle normálalak. Véges halmaz permutációi. Csoport definíciói, és azok következményei; nevezetes példák. A részcsoport, izomorfizmus, homomorfizmus fogalma és alapvetõ tulajdonságai, példák. Cayley tétele. Hatványozás csoportban, az elemrend definíciója és tulajdonságai. Generátorrendszer, ciklikus csoportok. Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange tétele. Normálosztó, normálosztó szerinti mellékosztályozás, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel. Egyszerû csoportok, az alternáló csoportok egyszerûsége. A gyûrû definíciója, nevezetes példák. Ideál, ideál szerinti osztályozás, faktorgyûrû. Gyûrûelméleti homomorfiatétel. Egyszerû gyûrûk, a fõideálgyûrûk faktortestei. Test karakterisztikája, prímteste. Egyszerû algebrai és egyszerû transzcendens testbõvítés, minimálpolinom. Véges testek mint faktorgyûrûk, számolás véges testekben. Permutációcsoportok és néhány alkalmazásuk (játékok, Enigma). Az RSA-titkosítás és a Miller--Rabin-féle prímteszt ismertetése. A P és NP problémaosztály fogalma. A diszkrét logaritmus kriptográfiai jelentõsége. Véges testek és algebrai kódok (BCH).

Előfeltétel:

( MBN111E és ( MBN211E vagy ( MBN212E és MBN112E ) ) )

Helyettesítő tárgyak:

( ( Mm4125 és Mm3105 ) vagy ( MBN511E és MBN411E ) )

Előadások:
Kurzuskód: MBL412E Kredit: 6 Óraszám: 14 félévente
Kurzuskód: MBN412KE Kredit: 1 Óraszám: 1 hetente
Kurzuskód: MBN412E Kredit: 6 Óraszám: 3 hetente

Gyakorlatok:
Kurzuskód: MBN412G Kredit: 0 Óraszám: 2 hetente
Kurzuskód: MBL412G Kredit: 0 Óraszám: 10 félévente