Alkalmazott algebra ea. (BSc 2006-2014)
Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék
Tematika:
Alterek direkt összege. Lineáris transzformációk és mátrixok sajátalterei. Euklideszi terek. Lineáris leképezés adjungáltja, mátrixa ortonormált bázisban. Önadjungált és ortogonális leképezések, ortogonális mátrixok. Spektráltétel és következményei kvadratikus alakokra és szimmetrikus mátrixokra. Polinommátrixok ekvivalenciája, hasonló mátrixok, lineáris transzformációk és mátrixok minimálpolinomja, Cayley--Hamilton-tétel, Jordan-féle normálalak.
Véges halmaz permutációi. Csoport definíciói, és azok következményei; nevezetes példák. A részcsoport, izomorfizmus, homomorfizmus fogalma és alapvető tulajdonságai, példák. Cayley tétele. Hatványozás csoportban, az elemrend definíciója és tulajdonságai. Generátorrendszer, ciklikus csoportok. Részcsoport szerinti mellékosztályozás, Lagrange tétele. Normálosztó, normálosztó szerinti mellékosztályozás, faktorcsoport, csoportelméleti homomorfiatétel. Egyszerű csoportok, az alternáló csoportok egyszerűsége.
A gyűrű definíciója, nevezetes példák. Ideál, ideál szerinti osztályozás, faktorgyűrű. Gyűrűelméleti homomorfiatétel. Egyszerű gyűrűk, a főideálgyűrűk faktortestei.
Test karakterisztikája, prímteste. Egyszerű algebrai és egyszerű transzcendens testbővítés, minimálpolinom. Véges testek mint faktorgyűrűk, számolás véges testekben.
Permutációcsoportok és néhány alkalmazásuk (játékok, Enigma). Az RSA-titkosítás és a Miller--Rabin-féle prímteszt ismertetése. A P és NP problémaosztály fogalma. A diszkrét logaritmus kriptográfiai jelentősége. Véges testek és algebrai kódok (BCH).
Előfeltétel: