Klasszikus algebra és számelmélet ea. (BSc 2010 elõtt)

Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék

Tematika:
Komplex számok: kanonikus és trigonometrikus alak, gyökvonás, egységgyökök. A csoport, a gyûrû és a test fogalma, példák. Integritástartományok, egységelemes gyûrû fölötti egyhatározatlanú polinomgyûrû, a Gauss-egészek és az Euler-egészek gyûrûje. Az oszthatóság tulajdonságai integritástartományokban. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Maradékos osztás és euklideszi algoritmus Z-ben és test fölötti polinomgyûrûben. Euklideszi gyûrûk, fõideálgyûrûk, egyértelmû irreducibilis felbontás. Prímszámok, a számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van. Polinomok zéróhelyei, Bézout tétele. A klasszikus algebra alaptétele és következményei, irreducibilis faktorizáció a valós és a komplex számtest fölött. A harmad- és a negyedfokú polinomok zéróhelyeinek meghatározása. Irreducibilis polinomok a racionális számtest fölött, racionális zéróhelyek, a Schönemann-Eisenstein-tétel. Polinomok közös és többszörös zéróhelyei. Test fölötti többhatározatlanú polinomgyûrû, a szimmetrikus polinomok alaptétele. Lineáris diofantoszi egyenletek. A modulo n kongruencia és tulajdonságai, maradékosztályok, teljes és redukált maradékrendszerek. A modulo f(x) kongruencia polinomgyûrûben. Maradékosztály-gyûrû, illetve -test polinomgyûrû esetén. Véges testek konstrukciója. Lineáris kongruenciák, a kínai maradéktétel. Euler, Fermat és Wilson kongruenciatétele. Számelméleti függvények, multiplikatív függvények, nevezetes példák, összegzési és megfordítási függvény. Primitív gyökök és indexek. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum. Természetes számok fölbontása két négyzetszám összegére, pitagoraszi számhármasok. A prímszámok eloszlása, a prímszámok reciprokaiból állósor divergenciája. Nevezetes tételek és megoldatlan problémák (ismertetés).

Előfeltétel:

( MBN171E és MBN172G )

Helyettesítő tárgyak:

( ( Mm1113 és Mm2103 ) vagy ( MBN112E és MBN212E ) )

Előadások:
Kurzuskód: MBL211E Kredit: 9 Óraszám: 18 félévente
Kurzuskód: MBN211E Kredit: 5 Óraszám: 4 hetente
Kurzuskód: MBN211KE Kredit: 1 Óraszám: 1 hetente

Gyakorlatok:
Kurzuskód: MBN211G Kredit: 4 Óraszám: 4 hetente
Kurzuskód: MBL211G Kredit: 0 Óraszám: 14 félévente