Bevezetés a számelméletbe

Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék

Tematika:
Természetes számok, teljes indukció. Algebrai kifejezések, nevezetes szorzatok. Halmazok, leképezések, osztályozások. Összeszámlálási alapfeladatok: variáció, permutáció, kombináció, rendezett osztályozás. Binomiális és polinomiális tétel. Logikai szitaformula. Az oszthatóság tulajdonságai, maradékos osztás és euklideszi algoritmus az egész számok körében. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös. Lineáris diofantoszi egyenletek. A számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van. A modulo $m$ kongruencia és tulajdonságai, maradékosztályok. Lineáris kongruenciák, a kínai maradéktétel. Teljes és redukált maradékrendszerek. Euler, Fermat és Wilson tétele. Kongruenciák alkalmazásai: oszthatósági tesztek, RSA kódolás, pszeudovéletlen sorozatok. Multiplikatív számelméleti függvények, nevezetes példák: az osztók száma, az osztók összege, a Möbius-függvény, az Euler-függvény. Számelméleti függvények konvolúciója. Számelméleti függvények összegzési és megfordítási függvénye, a Möbius-féle megfordítási képlet. Tökéletes számok. Additív számelméleti függvények. Primitív gyökök és indexek. Négyzetes maradékok, Legendre-szimbólum. A Dirichlet-tétel és néhány speciális esete. A természetes számok fölbontása két négyzetszám összegére. Pitagoraszi számhármasok. A Waring-problémakör, a Fermat-sejtés. A prímszámok eloszlása: a prímszámok reciprokainak sora divergens; nevezetes becslések a prímszámok számára, a nagy prímszámtétel (ismertetés).

Előfeltétel: nincs.

Helyettesítő tárgyak: nincsenek.

Előadás:
Kurzuskód: Mm1113 Kredit: 3 Óraszám: 2 hetente