Bevezetés az absztrakt algebrába ea. (OT közös)
Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék
Tematika:
A csoport fogalma, nevezetes példák: az egész számok és a mod n maradékosztályok additív, a mod n redukált maradékosztályok multiplikatív csoportja, szimmetriacsoportok, lineáris csoportok, az n-edfokú szimmetrikus és alternáló csoport, permutációcsoportok.
Multiplikatív és additív írásmód, egész kitevős hatványozás, ill. többszörözés. Csoportelem rendje.
Ciklikus csoportok. A mod p redukált maradékosztályok csoportja ciklikus: primitív gyök, hatványmaradék, négyzetes maradék. Négyzetes reciprocitás és Legendre-szimbólum (ismertetés).
Részcsoport, részcsoport szerinti osztályozás, Lagrange tétele véges csoportokra. A ciklikus csoportok részcsoportjai.
Csoportok izomorfizmusa, minden ciklikus csoport izomorf az egész számok vagy a mod n maradékosztályok additív csoportjával, a Cayley-féle reprezentációtétel.
A gyűrű és az integritástartomány fogalma, példák: az egész számok gyűrűje, a test fölötti polinomgyűrűk, a Gauss-egészek gyűrűje. Oszthatóság integritástartományokban. Irreducibilis és prímelemek. Euklideszi gyűrűk. A Gauss-egészek gyűrűje euklideszi, a két négyzetszám tétel.
Számtestek egyszerű algebrai bővítései. Nevező gyöktelenítése. A geometriai szerkeszthetőség algebrai megfogalmazása, négyzetgyökbővítés, nevezetes szerkeszthetőségi problémák. Kitekintés: a magasabb fokú egyenletek megoldhatósága gyökjelekkel, radikálbővítés.
Előfeltétel: