Csoportok és testek ea. (BSc)

Tanszék: Algebra és Számelmélet Tanszék

Tematika:
Csoportok: Normálosztó, csoport kongruenciája, faktorcsoport, homomorfiatétel. A ciklikus csoportok leírása izomorfia erejéig. Egyszerű csoport és maximális normálosztó. A permutációcsoportok elméletének alapjai: Cayley-féle reprezentációtétel, az alternáló csoport egyszerűsége. Csoportok külső és belső direkt szorzata, direkt felbonthatóság. A véges Abel-csoportok alaptétele (bizonyítás nélkül). Gyűrűk: Gyűrű ideálja, ideál szerinti osztályozás, faktorgyűrű, gyűrűelméleti homomorfiatétel. Egyszerű gyűrű, maximális ideál, a test fölötti teljes mátrixgyűrű egyszerűsége. Gyűrűk direkt szorzata, a maradékosztály-gyűrűk direkt fölbontása. Testek: Testkonstrukciók. Egyszerű algebrai, egyszerű transzcendens, véges fokú testbővítés, fokszámtétel. Algebrai testbővítés, kapcsolat a véges fokú és az egyszerű algebrai bővítésekkel. Polinom felbontási teste és annak egzisztenciája (az unicitás bizonyítás nélkül). Test algebrai lezártja (bizonyítás nélkül). Véges testek. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus, véges test megadása primitív polinom segítségével. Diszkrét logaritmus. Véges testek alkalmazása a kódoláselméletben: Diffie--Hellman-féle kulcsváltás, BCH-kódolás.

Előfeltétel: