Euklideszi geometria ea. (BSc 2015 elõtt)

Tanszék: Geometria Tanszék

Tematika:
Euklideszi sík és tér gyors axiomatikája (illeszkedés, rendezés, metrika, tükrözés). Merõlegesség. Kötött vektor, szabad vektor, helyvektorok, lineáris függõség, függetlenség, generálás, bázis, dimenzió. (Affin) sík és tér koordinátázása, koordináta transzformáció, bázisváltás, determináns és sík irányítása. Affin transzformáció, mint lineáris leképezés és eltolás egyértelmû szorzata. Affin független pontok, affinitások alaptétele. Norma, tulajdonságai, ortogonalitás, paralellogramma szabály, Euklideszi norma. Euklideszi szorzás, Euklideszi-sík egységköre (elipszis). < |u||v|, szögfüggvények, Euklideszi szorzás ONB-koordinátázásban, addiciós tételek. Izometrikus leképezések linearitása, ortogonális leképezés inverzének mátrixa. Izometriák (d(f(x),f(y))/d(x,y)=1), Izometria-csoport. Síkizometria-tétel (osztályozás fixpontok szerint és elõállításuk tükrözésekbõl). Tükrözések tulajdonságai (konjugálás, szorzat-redukciók, irányításváltás). Forgatások és eltolások tulajdonságai (szög-addíciós tétel; szabadsági fok, konjugálás, mozgáscsoport). Síkizometriák felsorolása. Térizometria-tétel (osztályozás fixpontok szerint és elõállításuk tükrözésekbõl). Tükrözések tulajdonságai (konjugálás, szorzat-redukciók, irányításváltás). Forgatások, eltolások és csavarmozgás tulajdonságai (szabadsági fok, konjugálás) mozgáscsoport. Térmozgás-csoport síkhatása és a síkizometria-csoport. Térizometriák felsorolása. Egybevágóság kiterjeszthetõ izometriává; háromszögek és tetraéderek egybevágósága. Szimmetria csoport. Szabályos alakzatok (poligonok és poliéderek). Homotéciák (d(f(x),f(y))/d(x,y)=fix): fixpont létezése, a dilatáció párhuzamosság-tartó homotécia. Minden homotécia egy dilatáció és egy izometria szorzata. Hasonlóság kiterjeszthetõ homotéciává. Háromszögek és tetraéderek hasonlósága. Párhuzamos szelõk tétele. Affinitások (osztóviszonytartók). Két sík közti affinitás mindig egy párhuzamos vetítés (tengelyes affinitás) és egy homotécia szorzata. Affinitások alaptétele (egyenestartó bijektív leképezés affinitás). Projektivitások (kettosviszonytartók). bijektív proj. affinitás (Perspektivitás projekció, de nem bijektív). Terület- és térfogat-formák, Paralelepipedon térfogata, vegyes és vektoriális szorzás vs. térfogatformák. Csoport-hatás, pálya. Diszkrét mozgáscsoport, szabályos pontrendszerek. Szabályos pontrendszerek szimmetria csoportja, kristályok, Barlow tétele. Diszkrét síkmozgáscsoportok osztályozása. Inverzióval bovített diszkrét mozgáscsoport. Konvexitás, poliéderek, szabályos testek.

Előfeltétel: nincs.

Helyettesítő tárgyak: nincsenek.

Előadások:
Kurzuskód: MBN231E Kredit: 7 Óraszám: 4 hetente
Kurzuskód: MBL231E Kredit: 7 Óraszám: 18 félévente

Gyakorlatok:
Kurzuskód: MBN231G Kredit: 0 Óraszám: 2 hetente
Kurzuskód: MBL231G Kredit: 0 Óraszám: 10 félévente