Bevezetés a lineáris
algebrába
(2017. szeptember 5.)
1. Mátrixok összege,
szorzata, skalárszorosa és transzponáltja. Mátrix
műveletek és tulajdonságaik. (2.5)
2. Determináns
definíciója. Determináns egyenlő transzponáltjával. (3.6)
2. Determinánsok
tulajdonságai. (3.4)
4. Determináns
kifejtése, a ferde kifejtés tétele. Laplace-tétel. (3.10)
6. Lineáris
egyenletrendszerek, Gauss-elimináció, Cramer-szabály. (5.8)
7. Vektortér, a
vektortér axiómák következményei. Altér, alterek metszete és összege. Lineáris
kombináció, részhalmaz által generált altér, generátorrendszer. (6.12)
8. Lineárisan független
és függő vektorrendszerek. Kicserélési tétel és következményei. (7.2, 7.4)
9. Bázis, minimális
generátorrendszer, maximális lineárisan független vektorrendszer. Véges
dimenziós vektorterek, vektortér dimenziója, vektorok koordinátái adott
bázisban. (8.2, 8.3)
10. Vektorrendszer
rangja és kapcsolata a generált altér dimenziójával. Vektorrendszerek elemi
átalakításai, ekvivalens vektorrendszerek. Alterekre vonatkozó dimenziótétel. (8.7)
11. Lineáris leképezések
és transzformációk, vektorterek izomorfizmusa. Lineáris leképezések magja és
képtere. Lineáris leképezések dimenziótétele. (10.3)
12. Mátrix sor-, oszlop-
és determinánsrangja. Rangszámtétel. Kronecker-Capelli-tétel, homogén lineáris egyenletrendszer
megoldásainak halmaza altér, fundamentális megoldásrendszer. (9.7)
13. Lineáris leképezések
összege és skalárszorosa, a lineáris leképezések
vektortere. Az összeadás és a skalárral való szorzás leképezésszorzással
kapcsolatos tulajdonságai. (11.3)
14. Lineáris leképezés
mátrixa. Lineáris leképezés rangja egyenlő mátrixának rangjával. Lineáris
leképezések összegének, szorzatának és skalárszorosának
mátrixa. (12.3)
15. Bázisátmenet mátrix,
lineáris leképezés mátrixa különböző bázisokban. (13.3, 13.4)
16. Lineáris transzformációk
és mátrixok sajátértékei, sajátvektorai és karakterisztikus polinomja. (14.2)
17. Bilineáris
alak, szimmetrikus bilineáris alak, kvadratikus alak. (15.2, 15.4)
18. Kvadratikus alakok
kanonikus alakja és alaptétele. (15.7)
19. Valós kvadratikus alakok, tehetetlenségi tétel. Valós kvadratikus alakok osztályozása. Pozitív definit kvadratikus alakok. (16.3)
20. Euklideszi terek. (17.3, 17.6)
21. Szimmetrikus lineáris transzformációk, Főtengelytétel. (18.2, 18.4)