Diploma munka, Szakdolgozat és TDK Témák

1. Konvex integrál geometria

1.a Kinematikus integrál formulák
Pl. adott konvex halmazt metsző k-síkok mértéke, az árnyékhatárból származtatott mennyiségek integráljai és hasonló témák.

1.b Értékelés elmélet
Folytonos, félig-folytonos végesen additív mértékek konvex kompakt halmazokon az Euklideszi, a hiperbolikus és projektív terekben. Eltolás, mozgás ill. affin invariancia. A 2.h témával létezik egy közös általánosítása.

1.c Pareto görbék és felületek integrálgeometriája
A Pareto felület a konvex felületek mértékelméleti általánosítása. Egy olyan felület, melynek görbületi alapmennyiségei korlátos előjeles mértékek. Konvex felületek esetén ezen mértékek nem negatívak. A cél általánosítani a konvex esetben jól ismert integrál formulákat il. értékelés elméletet a Pareto felületekre.

2. Integrál geometria - a Radon transzformáció és más geometriai eredetű integrál transzformációk

2.a Radon transzformáció
Adott egy X alaptér - pl. az Euklideszi tér, vagy a gömb -, és van felületeinkenek egy F halmaza - pl. hipersíkok, főkörök-. Alapvetően azt vizsgáljuk, hogy egy az X alaptéren adott függvény család - pl. a kompakt tartójú függvények - mikor és hogyan rekonstruálhatóak az F felületeken vett integrálokból. Az ilyen típusú integrál transzformációkat Radon transzformációnak nevezzük, melynek nagyon fontos elméleti (pl. Fourier analízis szimetrikus tereken, Lie csoport reprezentáció elmélet) és gyakorlati (pl. komputer-tomográfia) alkalmazásai vannak.

2.b Crofton transzformáció
Radon transzformáció véges Hausdorff k-mértékű halmazra koncentrálódó függvények esetén. Ha 0<k<n, akkor a Radon transzformációtól alapvetően eltérő módszerekre kell hagyatkoznunk.

2.c Geometriai Fourier integrál operátorok
Olyan általánosított Radon transzformációk, melyekben megengedünk az integrálasi felületre transzverzális irányú (pszeudo-)deriválásokat. Célunk az invertálhatóság, kép- és magtér leírása, index (magtér dimenziója mínusz a képtér kodimenziója) invarianciájának bizonyítása a kompakt esetben.

2d. Atiyah-Singer típusú index tételek geometriai Fourier integrál oparátorokra
A 2.c pontban vizsgált kompakt tereken értelmezett geometriai Fourier integrál oparátorok indexének kiszámolása az alaptér és az integrálások alapsokaságok topológiai invariánsaiból.

2.e Szinguláris függvények Radon transzformációja
Előírt tulajdonságú szingularitásokkal bíró függvények képterét vizsgáljuk a Radon transzformációra vonatkozólag különböző terekben, úgy mint az Euklideszi, hiperbolikus ill. projektív terek a valós, komplex és kvaternió számtest felett.

2.f Függvények szorzatának Radon transzformáltja és alkalmazása az algebrai PDE-kre
A konstans együtthatós elliptikus PDE-k, a hő- ill. hullám-egyenlet megoldható Radon transzformációval oly módon, hogy a megoldásnak fizikai jelentés tulajdonítható, a megoldás szinte vizualizálható. A Radon transzformáció segítségével a problémát síkhullámokra bontjuk, és az így keletkezett egydimenziós feladatot - közönséges differenciál egyenletet - mát könnyen kezeljük. Ezt a F. John által a 30-as években kitalált stratégiáját kívánjuk nem lineáris ill. nem konstans együtthatós lineáris differenciál egyenletek egyes osztályaira alkalmazni. Ebben játszik központi szerepet különböző függvényosztályokba tartozó függvények Radon transzformáltja. Mivel a Radon transzformáció kép tere - pl. a sima kompakt tartójú függvényeken- egy expliciten de nem triviálisan karakterizálható zárt altere a sima kompakt tartójú függvényeknek, ezért a szorzat formulák nem egyértelműek, ami egy speciális nehézség, de egyben lehetőség arra, hogy egy adott feladathoz megtalaljuk a megfelelő szorzat formulát. Érdekes esetek pl. explicit megoldóképlet a polinom együtthatós lineáris egyenletekre, algebrai PDE-k kis normájú megoldásainak egzisztenciája, unicitása és a paraméterektől való folytonos függése, ill. a Navier-Stokes egyenletek.

2.h Geodetikusok és metrikák
Adott egy K konvex nyílt halmaz az Euklideszi térben. Mik azok a metrikák, melyben a geodetikusok pontosan a K-t metsző egyenesek? Ez a probléma Hilbert 4. problémája, és csak a 80-as évek második felében oldotta meg Szabó Zoltán, aki akkoriban a tanszékünkön dolgozott. A megoldás integrál geometriát használ. Hasonló problámákat tanulmányoznánk geodetikusokra, ill. felszínt minimalizáló felületekre. Az 1.b témával létezik egy közös általánosítása.

3. Geometriai tomográfia

Konvex halmazokat akarunk rekonstruálni metszeteikből, látószögeikből. Pl. egy konvex lemezt meghatároz, ha négy általános helyzetű párhuzamos egyenes családdal való metszeteit ismerjük.

4. Parciális differenciál egyenletek, peremérték problémák, PDO

Lineáris elliptikus parciális differenciál egyenletek és pszeudo-differenciál operátorok peremérték problémáit vizsgálnánk általában, ill. ha az alap tartomány konvex és nem korlátos, akkor a konstans együtthatós esetben több dimenziós Mikusinski operátorok és a Radon transzformáció alkalmazásával.

5. Hallható-e a dob alakja? Spektrál rekonstrukció.

Adott egy tartomány - a dob - az Euklideszi síkon. A dob felhangjai a Laplace operátorra vonatkozó homogén peremérték probléma (multiplicitással vett) spektrumának, azaz a sajátértékeknek felelnek meg. A kérdés, hogy ezen felhangokból, azaz a spektrumból, meg tudjuk-e határozni a dob alakját, azaz a tartományunkat. Általában nem, de pl. ha a tartományunk konvex, akkor nem tudjuk a választ.

6. Szummációs eljárások, transz-sorozatok - az ördög tudománya.

Mi a következő végtelen sor összeg értéke: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + ... ? Euler szerint -1/12. Gondoltad volna? Ilyen jellegű összegek, azaz divergens sorozatok és lánctörtek összegzését vizsgáljuk különböző eljárásokkal, így pl. integrál transzformációkkal, analitikus kiterjesztéssel és algoritmikus információ elmélet felhasználásával. Abel - mikor az analízis még nem volt teljesen megalapozva - a divergens sorösszegzési eljárásokat az "ördög tudományának" nevezte, és a matmatikából való kiűzetését követelte, melyet el is ért egy időre. Hardy legitimálta újra a területet, mely azóta szépen virágzik, és a legváratlanabb helyeken bukkan fel, bár a gyanakvás árnyéka még néha ma is rávetül ... .

Az ún. Borel szummációnak fontos alkalmazásai vannak az elméleti fizikában, az ún. perturbáció elméletben, és az S-mátrix sorfejtésének értelmezésében.

7. Kvázikristályok, aperiodikus mozaikok, majdnem periodikus függvények

A fenti képen látható híres aperiodikus parkettázás Roger Penrose-tól ered, aki korunk egyik legnagyobb matematikai-fizikusa. A mozgó kép azt mutatja, hogy a parkettázásban milyen szimmetriák majdnem-átfedések, -periódusok találhatóak. Ebben a témában geometriai és analitikus eszközök (Fourier és Radon transzformáció) segítségével vizsgálnánk hasonló konstrukciókat. Figyeljétek meg, hogy a Penrose parkettázásnak valódi ötfogású szimmetriája van, ami egy periodikus parkettázásnak soha nem lehet, mert az csak 3, 4 és 6 fogású szimmetriával bírhat. A kvázi kristályokat azóta a természetben is felfedezték, és vizsgálatuk időközben az anyagtudomány egyik legforróbb területévé vált.

11. Geometriai eredetű túlhatározott peremérték problémák. A Pompeiu probléma.

Adott egy nem azonosan zéró folytonos f függvény és egy K korlátos tartomány az n-dimenziós Euklideszi térben, melynek határa összefüggő és kellőképpen reguláris (Lipsitz folytonos). Tudjuk, hogy f integrálja K minden kongruens példányán zéró. (Az ilyen tartományokat Pompeiu tartományoknak nevezzük.) A Pompeiu sejtés azt állítja, hogy ekkor,K gömb? (Ha K gömb, akkor az f(x) = sin (lambda <x, omega>) függvény - bármely omega egység vektorra, és alkalmas lambda-ra integrálja K kongruens példányain (azaz adott esetben eltoltjain) zéró.)

Ez az egyszerűnek tűnő probléma a Pompeiu probléma, mely ekvivalens sok más problémával, így a Schiffer féle Laplace operátorra vonatkozó túlhatározott peremérték problémával is. Ekvivalens továbbá a diszkrét geometria értelemben vett diszkrepancia elméleti becslésekkel, ill. más, számelméleti jellegű problémákkal. Mi túlhatározott peremérték problémaként foglalkoznánk hasonló kérdésekkel.

Az egyik legfontosabb eset, ha az alaptér gömb. Ekkor a Pompeiu sejtés nem igaz, de az analitikus határú tartományok közt az ún. izoparametrikus felületek - racionális paraméter érték mellett - jó jelöltnek tűnnek a nem-Pompeiu tartományokra. Az izoparametrikus felületek témája - a Pompeiu problémától függetlenül - E. Cartan-tól ered, és pontos leírásuk a mai napig nyitott, és a szférikus harmonikusok, túlhatározott peremérték problémák, integrál geometria és algebrai geometria határterületéhez tartozik.